ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 120 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите, при каких значениях \(a\) не имеет корней уравнение:
1) \(x^2 + (a + 1)x + 1 = 0;\)
2) \((a — 1)x^2 — 2a x + 3a = 0;\)
3) \((9 — 3a)x^2 — (a — 3)x + 1 = 0;\)
4) \((a — 2)x^2 — 2(a + 1)x + 3a + 3 = 0.\)

\(a \in (-3; 1)\)

\(a \in (-\infty; 0) \cup (1{,}5; +\infty)\)

\(a \in (-9; 3)\)

\(a \in (-\infty; -1) \cup (3{,}5; +\infty)\)

1. Рассмотрим уравнение \(x^{2} + (a + 1)x + 1 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (a + 1)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 1 = a^{2} + 2a + 1 — 4 = a^{2} + 2a — 3\).
Уравнение не имеет корней, если \(D < 0\):
\(a^{2} + 2a — 3 < 0\).
Решим квадратное неравенство:
Найдем корни: \(a^{2} + 2a — 3 = 0\).
По формуле: \(a = \frac{-2 \pm \sqrt{2^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}\).
\(a_{1} = \frac{-2 — 4}{2} = -3\), \(a_{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1\).
Ответ: \(a \in (-3; 1)\).

2. Рассмотрим уравнение \((a — 1)x^{2} — 2a x + 3a = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-2a)^{2} — 4(a — 1) \cdot 3a = 4a^{2} — 12a^{2} + 12a = -8a^{2} + 12a\).
Нет корней, если \(D < 0\):
\(-8a^{2} + 12a < 0\). Разделим на \(-4\): \(2a^{2} — 3a > 0\).
Вынесем \(a\):
\(a(2a — 3) > 0\).
Значит, \(a < 0\) или \(a > 1{,}5\).
Если \(a = 1\), уравнение становится линейным.
Ответ: \(a \in (-\infty; 0) \cup (1{,}5; +\infty)\).

3. Рассмотрим уравнение \((9 — 3a)x^{2} — (a — 3)x + 1 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = (-(a — 3))^{2} — 4(9 — 3a)\cdot 1 = (a — 3)^{2} — 36 + 12a\).
Раскроем скобки:
\(a^{2} — 6a + 9 — 36 + 12a = a^{2} + 6a — 27\).
Нет корней, если \(a^{2} + 6a — 27 < 0\).
Найдем корни: \(a^{2} + 6a — 27 = 0\).
\(a = \frac{-6 \pm \sqrt{6^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-27)}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2} = \frac{-6 \pm 12}{2}\).
\(a_{1} = \frac{-6 — 12}{2} = -9\), \(a_{2} = \frac{-6 + 12}{2} = 3\).
Ответ: \(a \in (-9; 3)\).

4. Рассмотрим уравнение \((a — 2)x^{2} — 2(a + 1)x + 3a + 3 = 0\).
Вычислим дискриминант:
\(D = [-2(a + 1)]^{2} — 4(a — 2)(3a + 3)\).
Раскроем скобки:
\(4(a^{2} + 2a + 1) — 4(a — 2)(3a + 3)\).
\(4a^{2} + 8a + 4 — 4(3a^{2} + 9a — 6)\).
\(4a^{2} + 8a + 4 — 12a^{2} — 12a — 24\).
\(-8a^{2} + 20a + 28\).
Нет корней, если \(-8a^{2} + 20a + 28 < 0\). Разделим на \(-4\): \(2a^{2} — 5a — 7 > 0\).
Найдем корни: \(2a^{2} — 5a — 7 = 0\).
\(a = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 56}}{4} = \frac{5 \pm 9}{4}\).
\(a_{1} = \frac{5 — 9}{4} = -1\), \(a_{2} = \frac{5 + 9}{4} = 3{,}5\).
Ответ: \(a \in (-\infty; -1) \cup (3{,}5; +\infty)\).