ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 121 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(b\) имеет два различных действительных корня уравнение:

1) \(x^2 — bx + 2b — 3 = 0;\)

2) \(bx^2 + (2b — 1)x + b = 0;\)

3) \((1 — 2b)x^2 + 2(2b + 1)x + 6b — 2 = 0;\)

4) \((2b + 10)x^2 + (b — 10)x — b + 4 = 0;\)

1. Находим дискриминант: \(D = (-b)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (2b — 3) = b^2 — 8b + 12\).
Решаем неравенство: \(b^2 — 8b + 12 > 0\).
Находим корни: \(b_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 — 48}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2}\).
Получаем: \(b_1 = 2\), \(b_2 = 6\).
Ответ: \(b \in (-\infty; 2) \cup (6; +\infty)\).

2. Находим дискриминант: \(D = (2b — 1)^2 — 4b^2 \cdot 1 = 4b^2 — 4b + 1 — 4b^2 = 1 — 4b\).
Решаем неравенство: \(1 — 4b > 0\), то есть \(b < \frac{1}{4}\).
Уравнение становится линейным при \(b = 0\), поэтому исключаем это значение.
Ответ: \(b \in (-\infty; 0) \cup (0; 0{,}25)\).

3. Находим дискриминант: \(D = \left(2(2b + 1)\right)^2 — 4(1 — 2b)(6b — 2)\).
Выполняем раскрытие: \(D = 4(2b + 1)^2 — 4(1 — 2b)(6b — 2)\).
Считаем: \(4(4b^2 + 4b + 1) — 4(6b — 2 — 12b^2 + 4b)\).
Упрощаем: \(16b^2 + 16b + 4 — 24b + 8 + 48b^2 — 16b\).
Итого: \(64b^2 — 24b + 12\).
Решаем неравенство: \(64b^2 — 24b + 12 > 0\).
Уравнение становится линейным при \(1 — 2b = 0\), то есть \(b = 0{,}5\).
Ответ: \(b \in (-\infty; 0{,}5) \cup (0{,}5; +\infty)\).

4. Находим дискриминант: \(D = (b — 10)^2 — 4(2b + 10)(-b + 4)\).
Выполняем раскрытие: \(D = b^2 — 20b + 100 — 4(2b + 10)(-b + 4)\).
Раскрываем скобки: \(2b + 10)(-b + 4) = -2b^2 + 8b — 10b + 40 = -2b^2 — 2b + 40\).
Умножаем на -4: \(8b^2 + 8b — 160\).
Итого: \(b^2 — 20b + 100 + 8b^2 + 8b — 160\).
Упрощаем: \(9b^2 — 12b — 60\).
Решаем неравенство: \(9b^2 — 12b — 60 > 0\).
Находим корни: \(b_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 2160}}{18} = \frac{12 \pm 48}{18}\).
Получаем: \(b_1 = \frac{60}{18} = 3 \frac{1}{3}\), \(b_2 = \frac{-36}{18} = -2\).
Уравнение становится линейным при \(2b + 10 = 0\), то есть \(b = -5\).
Ответ: \(b \in (-\infty; -5) \cup (-5; -2) \cup (3 \frac{1}{3}; +\infty)\).

1. Для начала рассмотрим вычисление дискриминанта квадратного уравнения, где коэффициенты заданы выражениями через \(b\). Формула дискриминанта принимает вид: \(D = (-b)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (2b — 3)\). Раскрываем скобки: \((-b)^2 = b^2\), а \(4 \cdot 1 \cdot (2b — 3) = 8b — 12\). Следовательно, получаем: \(D = b^2 — 8b + 12\). Чтобы уравнение имело два различных действительных корня, дискриминант должен быть положительным: \(b^2 — 8b + 12 > 0\). Решаем это квадратное неравенство, для чего находим корни соответствующего уравнения: \(b^2 — 8b + 12 = 0\).

Используем формулу корней квадратного уравнения: \(b_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 — 48}}{2}\). Считаем подкоренное выражение: \(64 — 48 = 16\), значит, \(\sqrt{16} = 4\). Получаем: \(b_1 = \frac{8 + 4}{2} = \frac{12}{2} = 6\), \(b_2 = \frac{8 — 4}{2} = \frac{4}{2} = 2\). Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства — это промежутки вне корней: \(b \in (-\infty; 2) \cup (6; +\infty)\).

Этот результат означает, что для всех значений параметра \(b\), которые лежат вне интервала от 2 до 6, квадратное уравнение будет иметь два различных действительных корня. Внутри интервала \((2; 6)\) дискриминант становится отрицательным, и действительных корней нет. Точки \(b = 2\) и \(b = 6\) дают нулевой дискриминант, то есть уравнение имеет один корень, но эти значения не входят в ответ.

2. В этом случае необходимо найти дискриминант уравнения, где коэффициенты также зависят от параметра \(b\): \(D = (2b — 1)^2 — 4b^2 \cdot 1\). Раскрываем скобки: \((2b — 1)^2 = 4b^2 — 4b + 1\), а \(4b^2 \cdot 1 = 4b^2\). Получаем: \(D = 4b^2 — 4b + 1 — 4b^2 = 1 — 4b\). Для существования двух различных действительных корней требуется: \(1 — 4b > 0\), то есть \(4b < 1\), или \(b < \frac{1}{4}\).

Однако нужно учесть, что при \(b = 0\) коэффициент перед \(x^2\) обнуляется, и уравнение становится линейным, а не квадратным. Поэтому значение \(b = 0\) исключается из ответа. Итоговый ответ записывается как объединение двух промежутков: \(b \in (-\infty; 0) \cup (0; 0{,}25)\).

Таким образом, для всех \(b\) из указанных промежутков исходное уравнение будет именно квадратным и иметь два различных действительных корня. Если \(b = 0\), уравнение теряет квадратичность, а если \(b \geq 0{,}25\), дискриминант становится неположительным, и действительных корней либо нет, либо они совпадают.

3. В третьем задании дискриминант вычисляется для более сложного уравнения: \(D = \left(2(2b + 1)\right)^2 — 4(1 — 2b)(6b — 2)\). Сначала раскрываем скобки: \(2(2b + 1) = 4b + 2\), значит, \(\left(4b + 2\right)^2 = 16b^2 + 16b + 4\). Теперь раскрываем вторую часть: \(4(1 — 2b)(6b — 2)\). Сначала перемножим: \((1 — 2b)(6b — 2) = 6b — 2 — 12b^2 + 4b = -12b^2 + 10b — 2\). Умножаем на 4: \(-48b^2 + 40b — 8\).

Складываем обе части: \(16b^2 + 16b + 4 — (-48b^2 + 40b — 8) = 16b^2 + 16b + 4 + 48b^2 — 40b + 8 = 64b^2 — 24b + 12\). Получаем неравенство: \(64b^2 — 24b + 12 > 0\). Это квадратное неравенство, и его корни определяют интервалы, где оно выполняется. Также учитываем, что уравнение становится линейным при \(1 — 2b = 0\), то есть при \(b = 0{,}5\), что исключается из ответа.

Решение неравенства: так как коэффициент при \(b^2\) положительный, ответ — объединение интервалов вне корней: \(b \in (-\infty; 0{,}5) \cup (0{,}5; +\infty)\). Это означает, что для всех \(b\), кроме \(b = 0{,}5\), исходное уравнение имеет два различных действительных корня, если \(b\) не лежит внутри промежутка между корнями, которые совпадают в этой задаче.

4. В четвертом случае дискриминант вычисляется для уравнения с параметрами: \(D = (b — 10)^2 — 4(2b + 10)(-b + 4)\). Сначала раскрываем скобки: \((b — 10)^2 = b^2 — 20b + 100\). Теперь раскроем вторую часть: \((2b + 10)(-b + 4) = -2b^2 + 8b — 10b + 40 = -2b^2 — 2b + 40\). Умножаем на -4: \(8b^2 + 8b — 160\).

Складываем обе части: \(b^2 — 20b + 100 + 8b^2 + 8b — 160 = 9b^2 — 12b — 60\). Получаем неравенство: \(9b^2 — 12b — 60 > 0\). Для решения находим корни: \(b_{1,2} = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 2160}}{18}\). Подкоренное выражение: \(144 + 2160 = 2304\), \(\sqrt{2304} = 48\). Получаем: \(b_1 = \frac{12 + 48}{18} = \frac{60}{18} = 3^{1}/_{3}\), \(b_2 = \frac{12 — 48}{18} = \frac{-36}{18} = -2\).

Также уравнение становится линейным при \(2b + 10 = 0\), то есть \(b = -5\), это значение исключаем. Так как коэффициент при \(b^2\) положительный, решение неравенства — объединение интервалов вне корней: \(b \in (-\infty; -5) \cup (-5; -2) \cup (3^{1}/_{3}; +\infty)\). Это означает, что для всех \(b\) из этих промежутков квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.