ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 122 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите значения \(a\), при которых выполняется при всех действительных значениях \(x\) неравенство:

1) \(x^2 — 2(a + 1)x + 2a^2 — a + 1 > 0;\)

2) \(-x^2 — 2a x + 8a^2 — 4a \leq 0;\)

3) \(a x^2 + 8x — a^2 + 10 > 0;\)

4) \((4 — a^2)x^2 + 2(a — 2)x + 1 \leq 0.\)

1) Пусть \(x^{2} — 2(a + 1)x + 2a^{2} — a + 1 > 0\). Это квадратное неравенство. Оно выполняется для всех \(x\), если дискриминант меньше нуля. Находим дискриминант:
\(D = [-2(a+1)]^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (2a^{2} — a + 1)\)
\(D = 4(a+1)^{2} — 8a^{2} + 4a — 4\)
\(D = 4(a^{2} + 2a + 1) — 8a^{2} + 4a — 4\)
\(D = 4a^{2} + 8a + 4 — 8a^{2} + 4a — 4\)
\(D = -4a^{2} + 12a\)
Решаем неравенство:
\(-4a^{2} + 12a < 0\)
\(a^{2} — 3a > 0\)
\(a(a — 3) > 0\)
Ответ: \(a \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)\)

2) Пусть \(-x^{2} — 2a x + 8a^{2} — 4a \leq 0\). Квадратное неравенство выполняется для всех \(x\), если дискриминант меньше или равен нулю.
\(D = (-2a)^{2} — 4 \cdot (-1) \cdot (8a^{2} — 4a)\)
\(D = 4a^{2} + 32a^{2} — 16a\)
\(D = 36a^{2} — 16a\)
Решаем неравенство:
\(36a^{2} — 16a \leq 0\)
\(a(9a — 4) \leq 0\)
\(0 \leq a \leq \frac{4}{9}\)
Ответ: \(a \in [0; 0{,}4]\)

3) Пусть \(a x^{2} + 8x — a + 10 > 0\). Квадратное неравенство выполняется для всех \(x\), если дискриминант меньше нуля и ветви параболы вверх (\(a > 0\)).
\(D = 8^{2} — 4a(10 — a)\)
\(D = 64 — 40a + 4a^{2}\)
Решаем неравенство:
\(4a^{2} — 40a + 64 < 0\)
\(a^{2} — 10a + 16 < 0\)
Находим корни:
\(a^{2} — 10a + 16 = 0\)
\(a_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 — 64}}{2} = \frac{10 \pm 6}{2}\)
\(a_{1} = 2, a_{2} = 8\)
Ответ: \(a \in (2; 8)\)

4) Пусть \((4 — a^{2})x^{2} + 2(a — 2)x + 1 \leq 0\). Квадратное неравенство выполняется для всех \(x\), если дискриминант меньше или равен нулю и ветви параболы вниз (\(4 — a^{2} < 0\)).
\(D = [2(a-2)]^{2} — 4(4 — a^{2})\)
\(D = 4(a^{2} — 4a + 4) — 16 + 4a^{2}\)
\(D = 4a^{2} — 16a + 16 — 16 + 4a^{2}\)
\(D = 8a^{2} — 16a\)
Решаем неравенство:
\(8a^{2} — 16a \leq 0\)
\(a(a — 2) \leq 0\)
\(0 \leq a \leq 2\)
Ветви вниз: \(a^{2} > 4\), то есть \(a < -2\) или \(a > 2\)
Пересечения нет.
Ответ: \(a \in \emptyset\)

1) Квадратное неравенство \(x^{2} — 2(a + 1)x + 2a^{2} — a + 1 > 0\) выполняется для всех \(x\), если его дискриминант отрицателен. Выведем формулу для дискриминанта: \(D = [-2(a+1)]^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (2a^{2} — a + 1)\). Преобразуем: \(D = 4(a+1)^{2} — 8a^{2} + 4a — 4\), далее \(D = 4a^{2} + 8a + 4 — 8a^{2} + 4a — 4\), что упрощается до \(D = -4a^{2} + 12a\). Для выполнения неравенства на всех \(x\) требуется \(-4a^{2} + 12a < 0\). Разделим на \(-4\) обе части (знак неравенства поменяется): \(a^{2} — 3a > 0\). Это неравенство выполняется при \(a < 0\) или \(a > 3\), то есть \(a \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)\).

Рассмотрим подробнее структуру полученного неравенства. Корни квадратного выражения \(a^{2} — 3a = 0\) равны \(a = 0\) и \(a = 3\). Знаки выражения между корнями и вне их интервалов определяются по схеме знаков квадратичной функции: между корнями выражение отрицательно, а вне них положительно. Поэтому искомое множество значений параметра \(a\), при которых исходное квадратное неравенство выполняется для всех \(x\), состоит из двух промежутков: \(a < 0\) и \(a > 3\).

Таким образом, исходное неравенство истинно для всех \(x\) только при \(a \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)\). Это означает, что при этих значениях параметра \(a\) парабола не пересекает ось \(x\), и её значения всегда положительны, то есть неравенство выполнено для любого значения переменной \(x\).

2) Квадратное неравенство \(-x^{2} — 2a x + 8a^{2} — 4a \leq 0\) выполняется для всех \(x\), если дискриминант не больше нуля. Находим дискриминант: \(D = (-2a)^{2} — 4 \cdot (-1) \cdot (8a^{2} — 4a)\). Раскрываем скобки: \(D = 4a^{2} + 32a^{2} — 16a\), далее \(D = 36a^{2} — 16a\). Неравенство \(36a^{2} — 16a \leq 0\) можно переписать как \(a(9a — 4) \leq 0\).

Рассмотрим подробнее решение неравенства \(a(9a — 4) \leq 0\). Корни этого выражения: \(a = 0\) и \(a = \frac{4}{9}\). Между этими корнями выражение отрицательно или равно нулю, вне — положительно. Следовательно, искомое множество значений параметра \(a\) — это отрезок между корнями, включая сами корни: \(0 \leq a \leq \frac{4}{9}\).

Таким образом, исходное неравенство выполняется для всех \(x\) только при \(a \in [0; \frac{4}{9}]\). Это значит, что при этих значениях \(a\) ветви параболы направлены вниз, а сама парабола не пересекает ось \(x\), и все её значения не положительны для любого \(x\).

3) В неравенстве \(a x^{2} + 8x — a + 10 > 0\) чтобы оно выполнялось для всех \(x\), требуется два условия: ветви параболы вверх (\(a > 0\)) и дискриминант меньше нуля. Дискриминант вычисляется как \(D = 8^{2} — 4a(10 — a)\), раскрываем: \(D = 64 — 40a + 4a^{2}\). Приведём к стандартному виду: \(4a^{2} — 40a + 64 < 0\), или \(a^{2} — 10a + 16 < 0\).

Рассчитаем корни квадратного уравнения \(a^{2} — 10a + 16 = 0\): \(a_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 — 64}}{2} = \frac{10 \pm 6}{2}\), то есть \(a_{1} = 2\) и \(a_{2} = 8\). Неравенство \(a^{2} — 10a + 16 < 0\) выполняется между корнями, то есть при \(2 < a < 8\). Поскольку ветви должны быть вверх, \(a > 0\), это условие автоматически соблюдается на указанном промежутке.

Следовательно, исходное неравенство истинно для всех \(x\) только при \(a \in (2; 8)\). Это означает, что при этих значениях параметра \(a\) парабола всегда лежит выше оси \(x\), и неравенство выполняется для любого значения переменной \(x\).

4) Для неравенства \((4 — a^{2})x^{2} + 2(a — 2)x + 1 \leq 0\) требуется два условия: дискриминант не больше нуля и ветви параболы вниз (\(4 — a^{2} < 0\)), то есть \(a^{2} > 4\), что эквивалентно \(a < -2\) или \(a > 2\). Дискриминант: \(D = [2(a-2)]^{2} — 4(4 — a^{2})\), раскрываем: \(D = 4(a^{2} — 4a + 4) — 16 + 4a^{2}\), далее \(D = 4a^{2} — 16a + 16 — 16 + 4a^{2}\), что даёт \(D = 8a^{2} — 16a\). Неравенство \(8a^{2} — 16a \leq 0\) переписывается как \(a(a — 2) \leq 0\), то есть \(0 \leq a \leq 2\).

Однако, чтобы оба условия выполнялись одновременно, нужно пересечение множеств \(a < -2\) или \(a > 2\) и \(0 \leq a \leq 2\). Пересечения нет, так как интервалы не пересекаются. Поэтому решений нет и ответ: \(a \in \emptyset\).

Видим, что исходное квадратное неравенство не может выполняться для всех \(x\) ни при каких значениях параметра \(a\), так как необходимые условия противоречат друг другу. Это означает, что не существует такого значения \(a\), при котором парабола всегда лежит ниже или на оси \(x\) для всех значений переменной \(x\).