Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 122 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Найдите значения \(a\), при которых выполняется при всех действительных значениях \(x\) неравенство:
1) \(x^2 — 2(a + 1)x + 2a^2 — a + 1 > 0;\)
2) \(-x^2 — 2a x + 8a^2 — 4a \leq 0;\)
3) \(a x^2 + 8x — a^2 + 10 > 0;\)
4) \((4 — a^2)x^2 + 2(a — 2)x + 1 \leq 0.\)
\(a \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)\)
\(a \in [0; 0{,}4]\)
\(a \in (2; 8)\)
\(a \in \emptyset\)
1) Пусть \(x^{2} — 2(a + 1)x + 2a^{2} — a + 1 > 0\). Это квадратное неравенство. Оно выполняется для всех \(x\), если дискриминант меньше нуля. Находим дискриминант:
\(D = [-2(a+1)]^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (2a^{2} — a + 1)\)
\(D = 4(a+1)^{2} — 8a^{2} + 4a — 4\)
\(D = 4(a^{2} + 2a + 1) — 8a^{2} + 4a — 4\)
\(D = 4a^{2} + 8a + 4 — 8a^{2} + 4a — 4\)
\(D = -4a^{2} + 12a\)
Решаем неравенство:
\(-4a^{2} + 12a < 0\)
\(a^{2} — 3a > 0\)
\(a(a — 3) > 0\)
Ответ: \(a \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)\)
2) Пусть \(-x^{2} — 2a x + 8a^{2} — 4a \leq 0\). Квадратное неравенство выполняется для всех \(x\), если дискриминант меньше или равен нулю.
\(D = (-2a)^{2} — 4 \cdot (-1) \cdot (8a^{2} — 4a)\)
\(D = 4a^{2} + 32a^{2} — 16a\)
\(D = 36a^{2} — 16a\)
Решаем неравенство:
\(36a^{2} — 16a \leq 0\)
\(a(9a — 4) \leq 0\)
\(0 \leq a \leq \frac{4}{9}\)
Ответ: \(a \in [0; 0{,}4]\)
3) Пусть \(a x^{2} + 8x — a + 10 > 0\). Квадратное неравенство выполняется для всех \(x\), если дискриминант меньше нуля и ветви параболы вверх (\(a > 0\)).
\(D = 8^{2} — 4a(10 — a)\)
\(D = 64 — 40a + 4a^{2}\)
Решаем неравенство:
\(4a^{2} — 40a + 64 < 0\)
\(a^{2} — 10a + 16 < 0\)
Находим корни:
\(a^{2} — 10a + 16 = 0\)
\(a_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{100 — 64}}{2} = \frac{10 \pm 6}{2}\)
\(a_{1} = 2, a_{2} = 8\)
Ответ: \(a \in (2; 8)\)
4) Пусть \((4 — a^{2})x^{2} + 2(a — 2)x + 1 \leq 0\). Квадратное неравенство выполняется для всех \(x\), если дискриминант меньше или равен нулю и ветви параболы вниз (\(4 — a^{2} < 0\)).
\(D = [2(a-2)]^{2} — 4(4 — a^{2})\)
\(D = 4(a^{2} — 4a + 4) — 16 + 4a^{2}\)
\(D = 4a^{2} — 16a + 16 — 16 + 4a^{2}\)
\(D = 8a^{2} — 16a\)
Решаем неравенство:
\(8a^{2} — 16a \leq 0\)
\(a(a — 2) \leq 0\)
\(0 \leq a \leq 2\)
Ветви вниз: \(a^{2} > 4\), то есть \(a < -2\) или \(a > 2\)
Пересечения нет.
Ответ: \(a \in \emptyset\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.