ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 124 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Для каждого значения \(a\) решите систему неравенств:

1) \(x^3 + x — 6 < 0,\) \(x < a\).

2) \(x^4 + 9x + 8 \geq 0,\) \(x < a\).

1. Решим неравенство \(x^{2} + x — 6 < 0\). Найдём корни квадратного уравнения: \(x^{2} + x — 6 = 0\).
Дискриминант: \(D = 1^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\).
Корни: \(x_{1} = \frac{-1 — 5}{2} = -3\), \(x_{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2\).
Так как ветви параболы вверх, знак неравенства «<«, значит решение между корнями: \(x \in (-3;2)\).

Второе условие: \(x \geq a\).

Если \(a \leq -3\), то пересечение: \(x \in (-3;2)\).

Если \(-3 < a < 2\), то пересечение: \(x \in [a;2)\).

Если \(a \geq 2\), то пересечение: \(x \in \emptyset\).

2. Решим неравенство \(x^{2} + 9x + 8 \geq 0\). Найдём корни квадратного уравнения: \(x^{2} + 9x + 8 = 0\).
Дискриминант: \(D = 9^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 — 32 = 49\).
Корни: \(x_{1} = \frac{-9 — 7}{2} = -8\), \(x_{2} = \frac{-9 + 7}{2} = -1\).
Так как ветви параболы вверх, знак неравенства «\(\geq\)», значит решение вне промежутка между корнями: \(x \leq -8\) или \(x \geq -1\).

Второе условие: \(x < a\).

Если \(a \leq -8\), то пересечение: \(x \in (-\infty;a)\).

Если \(-8 < a \leq -1\), то пересечение: \(x \in (-\infty;-8]\).

Если \(a > -1\), то пересечение: \(x \in (-\infty;-8] \cup [-1;a)\).

Рассмотрим первое неравенство \(x^{2} + x — 6 < 0\) более подробно. Для начала находим корни квадратного уравнения \(x^{2} + x — 6 = 0\) с помощью формулы дискриминанта: \(D = 1^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\). Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня. Находим их по формуле: \(x_{1} = \frac{-1 — 5}{2} = -3\), \(x_{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2\). График функции — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при \(x^{2}\) положительный. Решение неравенства \(x^{2} + x — 6 < 0\) соответствует промежутку между корнями, то есть \(x \in (-3;2)\).

Теперь добавим второе условие \(x \geq a\), и рассмотрим различные случаи для параметра \(a\). Если \(a \leq -3\), то множество решений второго условия охватывает весь промежуток, полученный из первого неравенства, поэтому пересечением будет \(x \in (-3;2)\). Если \(-3 < a < 2\), то множество решений второго условия начинается с \(a\), и пересечение с первым промежутком даст \(x \in [a;2)\), где квадратная скобка указывает на включение точки \(a\) в решение. Если \(a \geq 2\), то множество решений второго условия лежит полностью вне промежутка, полученного из первого неравенства, поэтому пересечение будет пустым, то есть \(x \in \emptyset\).

Перейдём ко второму неравенству \(x^{2} + 9x + 8 \geq 0\). Найдём корни квадратного уравнения \(x^{2} + 9x + 8 = 0\) через дискриминант: \(D = 9^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 — 32 = 49\). Корни вычисляются по формуле: \(x_{1} = \frac{-9 — 7}{2} = -8\), \(x_{2} = \frac{-9 + 7}{2} = -1\). Парабола направлена вверх, и знак неравенства «\(\geq\)» указывает, что нам нужны значения \(x\) вне промежутка между корнями, то есть \(x \leq -8\) или \(x \geq -1\).

Введём второе условие \(x < a\), и рассмотрим три случая. Если \(a \leq -8\), то множество решений второго условия ограничено слева, поэтому пересечение с первым промежутком будет \(x \in (-\infty;a)\). Если \(-8 < a \leq -1\), то множество решений второго условия включает значения до \(a\), но не выходит за пределы первого промежутка, поэтому пересечение будет \(x \in (-\infty;-8]\). Если \(a > -1\), то множество решений второго условия включает значения до \(a\), а первое неравенство даёт два промежутка, поэтому пересечение будет \(x \in (-\infty;-8] \cup [-1;a)\).