ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 125 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Для каждого значения \(a\) решите неравенство:

1) \(x^2 — (2a — 2)x — 2a \geq 0\);

2) \(x^2 — 3ax + 2a^2 — a — 1 < 0\).

1. Решим неравенство \(x^{2}-(a-2)x-2a \geq 0\).

Находим дискриминант: \(D=(a-2)^{2}-4 \cdot 1 \cdot (-2a)=a^{2}-4a+4+8a=a^{2}+4a+4=(a+2)^{2}\).

Находим корни:
\(x_{1}=\frac{a-2-(a+2)}{2}=\frac{-4}{2}=-2\)
\(x_{2}=\frac{a-2+(a+2)}{2}=\frac{2a}{2}=a\)

Так как ветви параболы вверх, то
\(x \leq -2\) или \(x \geq a\)

Если \(a < -2\), то интервалы пересекаются:
\(x \in (-\infty; a) \cup [-2; +\infty)\)

Если \(a = -2\), то корни совпадают:
\(x \in (-\infty; +\infty)\)

Если \(a > -2\), то интервалы не пересекаются:
\(x \in (-\infty; -2] \cup [a; +\infty)\)

2. Решим неравенство \((x-a+1)(x-2a-1)<0\).

Найдём корни:
\(x_{1}=a-1\)
\(x_{2}=2a+1\)

Так как знак неравенства «<«, выбираем промежуток между корнями, где выражение отрицательно.

Если \(a < -2\), то \(a-1 < 2a+1\):
\(x \in (a-1; 2a+1)\)

Если \(a = -2\), то \(x_{1}=x_{2}=-3\):
\(x \in \emptyset\)

Если \(a > -2\), то \(2a+1 < a-1\):
\(x \in (2a+1; a-1)\)

Рассмотрим решение первого неравенства \(x^{2}-(a-2)x-2a \geq 0\) более подробно. Это квадратное неравенство, где коэффициенты зависят от параметра \(a\). Для начала находим дискриминант по формуле: \(D=(a-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-2a)\). Раскрываем скобки: \(D=a^{2}-4a+4+8a\), что приводит к \(D=a^{2}+4a+4\). Заметим, что это полный квадрат: \(D=(a+2)^{2}\), значит, корни будут действительными для любого значения \(a\).

Далее находим корни квадратного уравнения: \(x_{1}=\frac{a-2-(a+2)}{2}=\frac{-4}{2}=-2\) и \(x_{2}=\frac{a-2+(a+2)}{2}=\frac{2a}{2}=a\). Так как коэффициент при \(x^{2}\) положительный, ветви параболы направлены вверх, а значит, неравенство выполняется на внешних промежутках относительно корней: \(x \leq -2\) или \(x \geq a\). Однако характер этих промежутков зависит от взаимного расположения корней, то есть от значения параметра \(a\).

Рассмотрим три случая. Если \(a < -2\), то \(a\) находится левее \(-2\), интервалы пересекаются, и объединённый промежуток будет: \(x \in (-\infty; a) \cup [-2; +\infty)\). Если \(a = -2\), оба корня совпадают, и неравенство выполняется для всех \(x\): \(x \in (-\infty; +\infty)\). Если \(a > -2\), то интервалы не пересекаются, и решение будет: \(x \in (-\infty; -2] \cup [a; +\infty)\).

Перейдём ко второму неравенству \((x-a+1)(x-2a-1)<0\). Это произведение двух линейных множителей, которое отрицательно между корнями. Находим корни: \(x_{1}=a-1\) и \(x_{2}=2a+1\). В зависимости от значения параметра \(a\), корни могут располагаться в разном порядке, что влияет на выбор промежутка, где выражение отрицательно.

Если \(a < -2\), то \(a-1 < 2a+1\), и выражение отрицательно на промежутке \(x \in (a-1; 2a+1)\). Если \(a = -2\), оба корня совпадают: \(x_{1}=x_{2}=-3\), и промежуток превращается в точку, где выражение не может быть отрицательным, поэтому решение: \(x \in \emptyset\). Если \(a > -2\), то \(2a+1 < a-1\), и выражение отрицательно на промежутке \(x \in (2a+1; a-1)\).

В итоге оба неравенства сводятся к анализу расположения корней и выбора правильных промежутков для решения, причём решения существенно зависят от параметра \(a\). Для первого случая квадратного неравенства определяющим становится сравнение \(a\) и \(-2\), а для второго — порядок корней, который также меняется при \(a=-2\). Всё это требует внимательного рассмотрения каждого случая и правильного выбора промежутков, что и было выполнено выше.