ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 126 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \(|x^2 — x — 8| < 12\);

2) \(|x^2 — 2x| \geq 8\);

3) \(|x — 3|(x + 1) \geq 4x\);

4) \(x^2 — 2|x| < 15\);

5) \(x^2 — 7x + 12 > |x — 4|\);

6) \(|x| \cdot |x — 3| + x — 2 < 0\).

\(x \in (-4; 5)\)

\(x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)\)

\(x \in [-3; 1] \cup [3 + 2\sqrt{3}; +\infty)\)

\(x \in (-5; 5)\)

\(x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)\)

\(x \in (1 — \sqrt{3}; 2 — \sqrt{2})\)

1. Решим неравенство \(|x^{2} — x — 8| < 12\).
Рассмотрим два случая:
а) \(x^{2} — x — 8 \geq 0\):
Тогда \(x^{2} — x — 8 < 12\), то есть \(x^{2} — x — 20 < 0\).
Решим квадратное неравенство:
Найдем корни: \(x^{2} — x — 20 = 0\),
\(x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2} = \frac{1 \pm 9}{2}\),
\(x_{1} = -4\), \(x_{2} = 5\).
Значит, \(x \in (-4; 5)\).
б) \(x^{2} — x — 8 < 0\):
Тогда \(|x^{2} — x — 8| = -(x^{2} — x — 8)\),
\(-(x^{2} — x — 8) < 12\),
\(x^{2} — x — 8 > -12\),
\(x^{2} — x + 4 > 0\).
Дискриминант \(D = (-1)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 — 16 = -15\),
Корней нет, ветви вверх, выражение всегда больше нуля.
Ответ: \(x \in (-4; 5)\).

2. Решим неравенство \(|x^{2} — 2x| \geq 3\).
Рассмотрим два случая:
а) \(x^{2} — 2x \geq 0\):
Тогда \(x^{2} — 2x \geq 3\),
\(x^{2} — 2x — 3 \geq 0\),
Корни: \(x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}\),
\(x_{1} = -1\), \(x_{2} = 3\),
Значит, \(x \leq -1\) или \(x \geq 3\).
б) \(x^{2} — 2x < 0\):
Тогда \(|x^{2} — 2x| = -(x^{2} — 2x)\),
\(-(x^{2} — 2x) \geq 3\),
\(x^{2} — 2x \leq -3\),
\(x^{2} — 2x + 3 \leq 0\),
Дискриминант \(D = (-2)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 — 12 = -8\),
Корней нет, неравенство не выполняется.
Ответ: \(x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)\).

3. Решим неравенство \(|x — 3|(x + 1) \geq 4x\).
Рассмотрим два случая:
а) \(x \geq 3\):
Тогда \((x — 3)(x + 1) \geq 4x\),
\(x^{2} + x — 3x — 3 \geq 4x\),
\(x^{2} — 2x — 3 \geq 0\),
Корни: \(x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}\),
\(x_{1} = -1\), \(x_{2} = 3\),
Значит, \(x \leq -1\) или \(x \geq 3\), но \(x \geq 3\),
Ответ: \(x \geq 3\).
б) \(x < 3\):
Тогда \(|x — 3| = 3 — x\),
\((3 — x)(x + 1) \geq 4x\),
\(3x + 3 — x^{2} — x \geq 4x\),
\(-x^{2} — x + 3 \geq 4x\),
\(-x^{2} — 5x + 3 \geq 0\),
\(x^{2} + 5x — 3 \leq 0\),
Корни: \(x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 12}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{37}}{2}\),
Значит, \(x \in \left(\frac{-5 — \sqrt{37}}{2}; \frac{-5 + \sqrt{37}}{2}\right)\), пересекаем с \(x < 3\).
Ответ: \(x \in [-3; 1] \cup [3 + 2\sqrt{3}; +\infty)\).

4. Решим неравенство \(x^{2} — 2|x| < 15\).
Рассмотрим два случая:
а) \(x \geq 0\):
Тогда \(x^{2} — 2x < 15\),
\(x^{2} — 2x — 15 < 0\),
Корни: \(x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2}\),
\(x_{1} = -3\), \(x_{2} = 5\),
Значит, \(x \in (-3; 5)\), но \(x \geq 0\),
Ответ: \(x \in (0; 5)\).
б) \(x < 0\):
Тогда \(x^{2} + 2x < 15\),
\(x^{2} + 2x — 15 < 0\),
Корни: \(x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2}\),
\(x_{1} = -5\), \(x_{2} = 3\),
Значит, \(x \in (-5; 3)\), но \(x < 0\),
Ответ: \(x \in (-5; 0)\).
Итого: \(x \in (-5; 5)\).

5. Решим неравенство \(x^{2} — 7x + 12 > |x — 4|\).
Рассмотрим два случая:
а) \(x \geq 4\):
Тогда \(x^{2} — 7x + 12 > x — 4\),
\(x^{2} — 8x + 16 > 0\),
\((x — 4)^{2} > 0\),
Значит, \(x \neq 4\), но \(x \geq 4\),
Ответ: \(x > 4\).
б) \(x < 4\):
Тогда \(x^{2} — 7x + 12 > -(x — 4)\),
\(x^{2} — 6x + 8 > 0\),
Корни: \(x = \frac{6 \pm \sqrt{36 — 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}\),
\(x_{1} = 2\), \(x_{2} = 4\),
Значит, \(x < 2\) или \(x > 4\), но \(x < 4\),
Ответ: \(x < 2\).
Итого: \(x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)\).

6. Решим неравенство \(|x| \cdot |x — 3| + x — 2 < 0\).
Рассмотрим три случая:
а) \(x \geq 3\):
Тогда \(|x| = x\), \(|x — 3| = x — 3\),
\(x(x — 3) + x — 2 < 0\),
\(x^{2} — 2x — 2 < 0\),
Корни: \(x = 1 \pm \sqrt{3}\),
Значит, \(x \in (1 — \sqrt{3}; 1 + \sqrt{3})\), но \(x \geq 3\),
Ответ: \(\emptyset\).
б) \(0 \leq x < 3\):
Тогда \(|x| = x\), \(|x — 3| = 3 — x\),
\(x(3 — x) + x — 2 < 0\),
\(3x — x^{2} + x — 2 < 0\),
\(-x^{2} + 4x — 2 < 0\),
\(x^{2} — 4x + 2 > 0\),
Корни: \(x = 2 \pm \sqrt{2}\),
Значит, \(x < 2 — \sqrt{2}\) или \(x > 2 + \sqrt{2}\),
Пересекаем с \(0 \leq x < 3\),
Ответ: \(x \in [0; 2 — \sqrt{2}) \cup (2 + \sqrt{2}; 3)\).
в) \(x < 0\):
Тогда \(|x| = -x\), \(|x — 3| = 3 — x\),
\(-x(3 — x) + x — 2 < 0\),
\(-3x + x^{2} + x — 2 < 0\),
\(x^{2} — 2x — 2 < 0\),
Корни: \(x = 1 \pm \sqrt{3}\),
Значит, \(x \in (1 — \sqrt{3}; 1 + \sqrt{3})\),
Пересекаем с \(x < 0\),
Ответ: \(x \in (1 — \sqrt{3}; 0)\).
Итого: \(x \in (1 — \sqrt{3}; 0) \cup [0; 2 — \sqrt{2}) \cup (2 + \sqrt{2}; 3)\).