ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 127 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите графически систему уравнений:

1) \(\begin{cases}xy = -8, \\ x + y = -2;\end{cases}\)

2) \(\begin{cases}y = x^2 — 4x + 8, \\ y = x — 8;\end{cases}\)

3) \(\begin{cases}x^2 — y = 2, \\ x + y = 4;\end{cases}\)

4) \(\begin{cases}x^2 + y^2 = 25, \\ y = -x — 1;\end{cases}\)

5) \(\begin{cases}x^2 + (y — 1)^2 = 5, \\ x — 2y + 2 = 0;\end{cases}\)

6) \(\begin{cases}x^2 + y^2 = 10, \\ xy = 3;\end{cases}\)

1)
\(xy = -8\)
\(x + y = -2\)
\(y = -x — 2\)
\(xy = -8 \Rightarrow x(-x-2) = -8 \Rightarrow -x^{2} — 2x = -8 \Rightarrow x^{2} + 2x — 8 = 0\)
\(x_{1} = 2,\ y_{1} = -4\)
\(x_{2} = -4,\ y_{2} = 2\)
\((-4;\ 2),\ (2;\ -4)\)

2)
\(y = x^{2} — 4x + 8\)
\(y = x — 8\)
\(x^{2} — 4x + 8 = x — 8\)
\(x^{2} — 5x + 16 = 0\)
\(D = (-5)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 16 = 25 — 64 = -39\)
\(\emptyset\)

3)
\(x^{2} — y = 2\)
\(x + y = 4\)
\(y = x^{2} — 2\)
\(x + x^{2} — 2 = 4 \Rightarrow x^{2} + x — 6 = 0\)
\(x_{1} = 2,\ y_{1} = 2\)
\(x_{2} = -3,\ y_{2} = 7\)
\((-3;\ 7),\ (2;\ 2)\)

4)
\(x^{2} + y^{2} = 25\)
\(y = -x — 1\)
\(x^{2} + (-x-1)^{2} = 25\)
\(x^{2} + x^{2} + 2x + 1 = 25\)
\(2x^{2} + 2x — 24 = 0\)
\(x^{2} + x — 12 = 0\)
\(x_{1} = 3,\ y_{1} = -4\)
\(x_{2} = -4,\ y_{2} = 3\)
\((-4;\ 3),\ (3;\ -4)\)

5)
\(x^{2} + (y-1)^{2} = 5\)
\(x — 2y + 2 = 0\)
\(x = 2y — 2\)
\((2y-2)^{2} + (y-1)^{2} = 5\)
\(4y^{2} — 8y + 4 + y^{2} — 2y + 1 = 5\)
\(5y^{2} — 10y + 5 = 5\)
\(y^{2} — 2y = 0\)
\(y_{1} = 0,\ x_{1} = -2\)
\(y_{2} = 2,\ x_{2} = 2\)
\((-2;\ 0),\ (2;\ 2)\)

6)
\(x^{2} + y^{2} = 10\)
\(xy = 3\)
\(y = \frac{3}{x}\)
\(x^{2} + \left(\frac{3}{x}\right)^{2} = 10\)
\(x^{2} + \frac{9}{x^{2}} = 10\)
\(x^{4} — 10x^{2} + 9 = 0\)
\(t^{2} — 10t + 9 = 0\)
\(t_{1} = 9,\ x_{1} = 3,\ y_{1} = 1\)
\(t_{2} = 1,\ x_{2} = 1,\ y_{2} = 3\)
\(x_{3} = -1,\ y_{3} = -3\)
\(x_{4} = -3,\ y_{4} = -1\)
\((-3;\ -1),\ (-1;\ -3),\ (1;\ 3),\ (3;\ 1)\)

1)
Пусть дано:
\(xy = -8\)
\(x + y = -2\)
Из второго уравнения выразим \(y\):
\(y = -x — 2\)
Подставим во первое уравнение:
\(x(-x — 2) = -8\)
\(-x^{2} — 2x = -8\)
\(x^{2} + 2x — 8 = 0\)
Решаем квадратное уравнение:
\(D = 2^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36\)
\(x_{1} = \frac{-2 + 6}{2} = 2\)
\(x_{2} = \frac{-2 — 6}{2} = -4\)
Найдём \(y\):
При \(x = 2: y = -2 — 2 = -4\)
При \(x = -4: y = 4 — 2 = 2\)
Ответ: \((-4;\ 2),\ (2;\ -4)\)

2)
Пусть дано:
\(y = x^{2} — 4x + 8\)
\(y = x — 8\)
Приравняем правые части:
\(x^{2} — 4x + 8 = x — 8\)
\(x^{2} — 5x + 16 = 0\)
\(D = (-5)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 16 = 25 — 64 = -39\)
Корней нет.
Ответ: \(\emptyset\)

3)
Пусть дано:
\(x^{2} — y = 2\)
\(x + y = 4\)
Из второго уравнения выразим \(y\):
\(y = 4 — x\)
Подставим во первое уравнение:
\(x^{2} — (4 — x) = 2\)
\(x^{2} + x — 6 = 0\)
\(D = 1^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\)
\(x_{1} = \frac{-1 + 5}{2} = 2\)
\(x_{2} = \frac{-1 — 5}{2} = -3\)
Найдём \(y\):
При \(x = 2: y = 4 — 2 = 2\)
При \(x = -3: y = 4 — (-3) = 7\)
Ответ: \((-3;\ 7),\ (2;\ 2)\)

4)
Пусть дано:
\(x^{2} + y^{2} = 25\)
\(y = -x — 1\)
Подставим во первое уравнение:
\(x^{2} + (-x-1)^{2} = 25\)
\(x^{2} + (x^{2} + 2x + 1) = 25\)
\(2x^{2} + 2x + 1 = 25\)
\(2x^{2} + 2x — 24 = 0\)
\(x^{2} + x — 12 = 0\)
\(D = 1^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49\)
\(x_{1} = \frac{-1 + 7}{2} = 3\)
\(x_{2} = \frac{-1 — 7}{2} = -4\)
Найдём \(y\):
При \(x = 3: y = -3 — 1 = -4\)
При \(x = -4: y = 4 — 1 = 3\)
Ответ: \((-4;\ 3),\ (3;\ -4)\)

5)
Пусть дано:
\(x^{2} + (y-1)^{2} = 5\)
\(x — 2y + 2 = 0\)
Из второго уравнения выразим \(x\):
\(x = 2y — 2\)
Подставим во первое уравнение:
\((2y-2)^{2} + (y-1)^{2} = 5\)
\(4y^{2} — 8y + 4 + y^{2} — 2y + 1 = 5\)
\(5y^{2} — 10y + 5 = 5\)
\(5y^{2} — 10y = 0\)
\(y(y-2) = 0\)
\(y_{1} = 0,\ x_{1} = 2 \cdot 0 — 2 = -2\)
\(y_{2} = 2,\ x_{2} = 2 \cdot 2 — 2 = 2\)
Ответ: \((-2;\ 0),\ (2;\ 2)\)

6)
Пусть дано:
\(x^{2} + y^{2} = 10\)
\(xy = 3\)
Из второго уравнения выразим \(y\):
\(y = \frac{3}{x}\)
Подставим во первое уравнение:
\(x^{2} + \left(\frac{3}{x}\right)^{2} = 10\)
\(x^{2} + \frac{9}{x^{2}} = 10\)
Умножим на \(x^{2}\):
\(x^{4} + 9 = 10x^{2}\)
\(x^{4} — 10x^{2} + 9 = 0\)
Пусть \(t = x^{2}\):
\(t^{2} — 10t + 9 = 0\)
\(D = 100 — 36 = 64\)
\(t_{1} = \frac{10 + 8}{2} = 9\)
\(t_{2} = \frac{10 — 8}{2} = 1\)
\(x_{1} = 3,\ y_{1} = 1\)
\(x_{2} = -3,\ y_{2} = -1\)
\(x_{3} = 1,\ y_{3} = 3\)
\(x_{4} = -1,\ y_{4} = -3\)
Ответ: \((-3;\ -1),\ (-1;\ -3),\ (1;\ 3),\ (3;\ 1)\)