ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 128 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Определите графически количество решений системы уравнений:

1) \(\begin{cases}y = \sqrt{x}, \\ y = 3 — x;\end{cases}\)

2) \(\begin{cases}y = x^2 + 2, \\ y = 5 — 2x^2;\end{cases}\)

3) \(\begin{cases}x^2 + 2 = 9, \\ y = 3 — x^2;\end{cases}\)

4) \(\begin{cases}xy = 6, \\ y = x^2 — 4;\end{cases}\)

5) \(\begin{cases}y = \frac{1}{2}x^2 — 2, \\ (x — 2)^2 + y^2 = 4;\end{cases}\)

6) \(\begin{cases}y = 3x, \\ y = -x^2 + 2x + 3.\end{cases}\)

1) Решим графически систему:
\(y = \sqrt{x}\)
\(y = 3 — x\)
Построим графики. Пересекаются в одной точке.
Ответ: 1

2) Решим графически систему:
\(y = x^{2} + 2\)
\(y = 5 — 2x^{2}\)
Построим графики. Пересекаются в двух точках.
Ответ: 2

3) Решим графически систему:
\(x^{2} + y^{2} = 9\)
\(y = 3 — x^{2}\)
Построим графики. Пересекаются в трёх точках.
Ответ: 3

4) Решим графически систему:
\(xy = 6\)
\(y = \frac{1}{3}x^{2} — 4\)
Построим графики. Пересекаются в одной точке.
Ответ: 1

5) Решим графически систему:
\((x — 2)^{2} + y^{2} = 4\)
\(y = 4 — 3x^{2}\)
Построим графики. Пересекаются в двух точках.
Ответ: 2

6) Решим графически систему:
\(|y| = x\)
\(y = -x^{2} + 2x + 3\)
Построим графики. Пересекаются в двух точках.
Ответ: 2

1)
Запишем систему:
\(y = \sqrt{x}\)
\(y = 3 — x\)
Приравняем правые части:
\(\sqrt{x} = 3 — x\)
Возведем обе части в квадрат:
\(x = (3 — x)^{2}\)
\(x = 9 — 6x + x^{2}\)
Переносим всё в одну сторону:
\(x^{2} — 7x + 9 = 0\)
Решаем квадратное уравнение:
\(D = (-7)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 49 — 36 = 13\)
\(x_{1} = \frac{7 + \sqrt{13}}{2}\)
\(x_{2} = \frac{7 — \sqrt{13}}{2}\)
Проверим, оба ли корня подходят.
Для \(x_{2} = \frac{7 — \sqrt{13}}{2}\), \(3 — x > 0\), \(x \geq 0\).
Оба значения положительны и меньше 3, значит оба подходят.
Ответ: 2

2)
Запишем систему:
\(y = x^{2} + 2\)
\(y = 5 — 2x^{2}\)
Приравняем:
\(x^{2} + 2 = 5 — 2x^{2}\)
\(x^{2} + 2x^{2} = 5 — 2\)
\(3x^{2} = 3\)
\(x^{2} = 1\)
\(x_{1} = 1\), \(x_{2} = -1\)
Найдем \(y\):
Если \(x = 1\), \(y = 1^{2} + 2 = 3\)
Если \(x = -1\), \(y = (-1)^{2} + 2 = 3\)
Ответ: 2

3)
Запишем систему:
\(x^{2} + y^{2} = 9\)
\(y = 3 — x^{2}\)
Подставим \(y\):
\(x^{2} + (3 — x^{2})^{2} = 9\)
\(x^{2} + 9 — 6x^{2} + x^{4} = 9\)
\(x^{4} — 5x^{2} + 9 = 9\)
\(x^{4} — 5x^{2} = 0\)
\(x^{2}(x^{2} — 5) = 0\)
\(x^{2} = 0\) или \(x^{2} = 5\)
\(x_{1} = 0\), \(x_{2} = \sqrt{5}\), \(x_{3} = -\sqrt{5}\)
Найдем \(y\):
Если \(x = 0\), \(y = 3\)
Если \(x = \sqrt{5}\), \(y = 3 — 5 = -2\)
Если \(x = -\sqrt{5}\), \(y = 3 — 5 = -2\)
Ответ: 3

4)
Запишем систему:
\(xy = 6\)
\(y = \frac{1}{3}x^{2} — 4\)
Подставим \(y\):
\(x\left(\frac{1}{3}x^{2} — 4\right) = 6\)
\(\frac{1}{3}x^{3} — 4x = 6\)
\(\frac{1}{3}x^{3} — 4x — 6 = 0\)
Умножим на 3:
\(x^{3} — 12x — 18 = 0\)
Решим методом подбора:
\(x = 3\)
Проверим:
\(y = \frac{1}{3} \cdot 9 — 4 = 3 — 4 = -1\)
\(3 \cdot (-1) = -3 \neq 6\)
Пробуем \(x = -2\):
\(y = \frac{1}{3} \cdot 4 — 4 = \frac{4}{3} — 4 = -\frac{8}{3}\)
\(-2 \cdot -\frac{8}{3} = \frac{16}{3} \neq 6\)
Решаем через дискриминант:
Только один действительный корень.
Ответ: 1

5)
Запишем систему:
\((x — 2)^{2} + y^{2} = 4\)
\(y = 4 — 3x^{2}\)
Подставим \(y\):
\((x — 2)^{2} + (4 — 3x^{2})^{2} = 4\)
\(x^{2} — 4x + 4 + 16 — 24x^{2} + 9x^{4} = 4\)
\(9x^{4} — 23x^{2} — 4x + 20 = 4\)
\(9x^{4} — 23x^{2} — 4x + 16 = 0\)
Это биквадратное уравнение, два действительных корня.
Ответ: 2

6)
Запишем систему:
\(|y| = x\)
\(y = -x^{2} + 2x + 3\)
Рассмотрим два случая:
1) \(y = x\)
\(x = -x^{2} + 2x + 3\)
\(-x^{2} + x + 3 = 0\)
\(x^{2} — x — 3 = 0\)
\(x_{1} = \frac{1 + \sqrt{13}}{2}\)
\(x_{2} = \frac{1 — \sqrt{13}}{2}\)
2) \(y = -x\)
\(-x = -x^{2} + 2x + 3\)
\(-x^{2} + 3x + 3 = 0\)
\(x^{2} — 3x — 3 = 0\)
\(x_{1} = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}\)
\(x_{2} = \frac{3 — \sqrt{21}}{2}\)
Два действительных значения \(x\), два решения.
Ответ: 2