ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 129 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1) \(y = 4 — x,\) \(x^2 + 3xy = 18;\)

2) \(x + y = -5,\) \(xy = -14;\)

3) \(x — 5y = 3,\) \(x^3 — 2xy — y^2 = -1;\)

4) \(4x — y = 3,\) \(3x — 2y = 9;\)

5) \(4x^2 + 6y = 7,\) \(6x + y = 5;\)

6) \((x — 3xy + 5) = 2.\)

1. Подставим из первого уравнения \( y = 4 — x \) во второе:
\( x^{2} + 3x(4-x) = 18 \)
\( x^{2} + 12x — 3x^{2} = 18 \)
\( -2x^{2} + 12x — 18 = 0 \)
\( 2x^{2} — 12x + 18 = 0 \)
\( x^{2} — 6x + 9 = 0 \)
\( (x — 3)^{2} = 0 \)
\( x = 3 \)
\( y = 4 — 3 = 1 \)
\( (3; 1) \)

2. Из первого уравнения \( y = -x — 5 \). Подставим во второе:
\( x(-x — 5) = -14 \)
\( -x^{2} — 5x = -14 \)
\( x^{2} + 5x — 14 = 0 \)
\( D = 25 + 56 = 81 \)
\( x_{1} = \frac{-5 + 9}{2} = 2 \)
\( x_{2} = \frac{-5 — 9}{2} = -7 \)
\( y_{1} = -2 — 5 = -7 \)
\( y_{2} = 7 — 5 = 2 \)
\( (-7; 2); \ (2; -7) \)

3. Из первого уравнения \( x = 3 + 5y \). Подставим во второе:
\( (3 + 5y)^{2} — 2y(3 + 5y) — y^{2} = -1 \)
\( 9 + 30y + 25y^{2} — 6y — 10y^{2} — y^{2} = -1 \)
\( 14y^{2} + 24y + 10 = 0 \)
\( 7y^{2} + 12y + 5 = 0 \)
\( D = 144 — 140 = 4 \)
\( y_{1} = \frac{-12 — 2}{14} = -1 \)
\( y_{2} = \frac{-12 + 2}{14} = -\frac{10}{14} = -\frac{5}{7} \)
\( x_{1} = 3 + 5(-1) = -2 \)
\( x_{2} = 3 + 5 \left(-\frac{5}{7}\right) = 3 — \frac{25}{7} = -\frac{4}{7} \)
\( (-2; -1); \left(-\frac{4}{7}; -\frac{5}{7}\right) \)

4. Из второго уравнения \( y = 4x — 3 \). Подставим во первое:
\( x^{2} + x(4x — 3) — 3(4x — 3) = -1 \)
\( x^{2} + 4x^{2} — 3x — 12x + 9 = -1 \)
\( 5x^{2} — 15x + 10 = 0 \)
\( x^{2} — 3x + 2 = 0 \)
\( D = 9 — 8 = 1 \)
\( x_{1} = \frac{3 — 1}{2} = 1 \)
\( x_{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \)
\( y_{1} = 4 \cdot 1 — 3 = 1 \)
\( y_{2} = 4 \cdot 2 — 3 = 5 \)
\( (1; 1); \ (2; 5) \)

5. Из первого уравнения \( y = \frac{3x — 9}{2} \). Подставим во второе:
\( 4x^{2} + 6y = 7 \)
\( 4x^{2} + 6 \cdot \frac{3x — 9}{2} = 7 \)
\( 4x^{2} + 9x — 27 = 7 \)
\( 4x^{2} + 9x — 34 = 0 \)
\( D = 81 + 544 = 625 \)
\( x_{1} = \frac{-9 — 25}{8} = -\frac{34}{8} = -\frac{17}{4} \)
\( x_{2} = \frac{-9 + 25}{8} = \frac{16}{8} = 2 \)
\( y_{1} = \frac{3 \cdot (-\frac{17}{4}) — 9}{2} = \frac{-\frac{51}{4} — \frac{36}{4}}{2} = \frac{-\frac{87}{4}}{2} = -\frac{87}{8} \)
\( y_{2} = \frac{3 \cdot 2 — 9}{2} = \frac{6 — 9}{2} = -\frac{3}{2} \)
\( \left(-\frac{17}{4}; -\frac{87}{8}\right); \ (2; -1{,}5) \)

6. Из первого уравнения \( y = 5 — 6x \). Подставим во второе:
\( (x — 3)(y + 5) = 2 \)
\( (x — 3)(5 — 6x + 5) = 2 \)
\( (x — 3)(10 — 6x) = 2 \)
\( 10x — 6x^{2} — 30 + 18x = 2 \)
\( -6x^{2} + 28x — 32 = 0 \)
\( 3x^{2} — 14x + 16 = 0 \)
\( D = 196 — 192 = 4 \)
\( x_{1} = \frac{14 — 2}{6} = 2 \)
\( x_{2} = \frac{14 + 2}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \)
\( y_{1} = 5 — 6 \cdot 2 = -7 \)
\( y_{2} = 5 — 6 \cdot \frac{8}{3} = 5 — 16 = -11 \)
\( (2; -7); \left(\frac{8}{3}; -11\right) \)

1. Для системы \( y = 4 — x \) и \( x^{2} + 3xy = 18 \) сначала выражаем \( y \) через \( x \) из первого уравнения, получая \( y = 4 — x \). Подставляем это выражение во второе уравнение: \( x^{2} + 3x(4 — x) = 18 \). Раскрываем скобки: \( x^{2} + 12x — 3x^{2} = 18 \). Приводим подобные члены: \( -2x^{2} + 12x — 18 = 0 \). Умножаем обе части на \(-1\), получаем \( 2x^{2} — 12x + 18 = 0 \). Делим на 2: \( x^{2} — 6x + 9 = 0 \). Это квадратное уравнение, его можно записать как \( (x — 3)^{2} = 0 \), то есть \( x = 3 \). Подставляем обратно в первое уравнение: \( y = 4 — 3 = 1 \). Таким образом, единственная точка пересечения графиков — \( (3; 1) \).

2. В системе \( y = -x — 5 \) и \( x y = -14 \) выражаем \( y \) через \( x \): \( y = -x — 5 \). Подставляем во второе: \( x(-x — 5) = -14 \), раскрываем скобки: \( -x^{2} — 5x = -14 \). Переносим все члены в одну сторону: \( x^{2} + 5x — 14 = 0 \). Находим дискриминант: \( D = 5^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 14 = 25 + 56 = 81 \). Корни: \( x_{1} = \frac{-5 + 9}{2} = 2 \), \( x_{2} = \frac{-5 — 9}{2} = -7 \). Находим соответствующие значения \( y \): \( y_{1} = -2 — 5 = -7 \), \( y_{2} = 7 — 5 = 2 \). Следовательно, решения: \( (-7; 2) \) и \( (2; -7) \).

3. В системе \( x = 3 + 5y \) и \( x^{2} — 2y x — y^{2} = -1 \) выражаем \( x \) через \( y \): \( x = 3 + 5y \). Подставляем во второе: \( (3 + 5y)^{2} — 2y(3 + 5y) — y^{2} = -1 \). Раскрываем скобки: \( 9 + 30y + 25y^{2} — 6y — 10y^{2} — y^{2} = -1 \). Приводим подобные члены: \( 14y^{2} + 24y + 10 = 0 \). Делим на 2: \( 7y^{2} + 12y + 5 = 0 \). Дискриминант: \( D = 12^{2} — 4 \cdot 7 \cdot 5 = 144 — 140 = 4 \). Корни: \( y_{1} = \frac{-12 — 2}{14} = -1 \), \( y_{2} = \frac{-12 + 2}{14} = -\frac{10}{14} = -\frac{5}{7} \). Соответствующие значения \( x \): \( x_{1} = 3 + 5 \cdot (-1) = -2 \), \( x_{2} = 3 + 5 \cdot \left(-\frac{5}{7}\right) = 3 — \frac{25}{7} = -\frac{4}{7} \). Ответ: \( (-2; -1) \) и \( \left(-\frac{4}{7}; -\frac{5}{7}\right) \).

4. В системе \( x^{2} + x y — 3y = -1 \) и \( y = 4x — 3 \) выражаем \( y \) через \( x \): \( y = 4x — 3 \). Подставляем во первое: \( x^{2} + x(4x — 3) — 3(4x — 3) = -1 \). Раскрываем скобки: \( x^{2} + 4x^{2} — 3x — 12x + 9 = -1 \). Приводим подобные члены: \( 5x^{2} — 15x + 10 = 0 \). Делим на 5: \( x^{2} — 3x + 2 = 0 \). Дискриминант: \( D = 3^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1 \). Корни: \( x_{1} = \frac{3 — 1}{2} = 1 \), \( x_{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2 \). Соответствующие значения \( y \): \( y_{1} = 4 \cdot 1 — 3 = 1 \), \( y_{2} = 4 \cdot 2 — 3 = 5 \). Ответ: \( (1; 1) \) и \( (2; 5) \).

5. В системе \( y = \frac{3x — 9}{2} \) и \( 4x^{2} + 6y = 7 \) выражаем \( y \) через \( x \): \( y = \frac{3x — 9}{2} \). Подставляем во второе: \( 4x^{2} + 6 \cdot \frac{3x — 9}{2} = 7 \). Получаем \( 4x^{2} + 9x — 27 = 7 \), переносим 7 влево: \( 4x^{2} + 9x — 34 = 0 \). Дискриминант: \( D = 9^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 34 = 81 + 544 = 625 \). Корни: \( x_{1} = \frac{-9 — 25}{8} = -\frac{34}{8} = -\frac{17}{4} \), \( x_{2} = \frac{-9 + 25}{8} = \frac{16}{8} = 2 \). Находим \( y \): \( y_{1} = \frac{3 \cdot (-\frac{17}{4}) — 9}{2} = \frac{-\frac{51}{4} — \frac{36}{4}}{2} = \frac{-\frac{87}{4}}{2} = -\frac{87}{8} \), \( y_{2} = \frac{3 \cdot 2 — 9}{2} = \frac{6 — 9}{2} = -\frac{3}{2} \). Ответ: \( \left(-\frac{17}{4}; -\frac{87}{8}\right) \) и \( (2; -1{,}5) \).

6. Для системы \( y = 5 — 6x \) и \( (x — 3)(y + 5) = 2 \) выражаем \( y \) через \( x \): \( y = 5 — 6x \). Подставляем во второе: \( (x — 3)(5 — 6x + 5) = 2 \), получаем \( (x — 3)(10 — 6x) = 2 \). Раскрываем скобки: \( 10x — 6x^{2} — 30 + 18x = 2 \). Приводим подобные члены: \( -6x^{2} + 28x — 32 = 0 \). Делим на \(-2\): \( 3x^{2} — 14x + 16 = 0 \). Дискриминант: \( D = 14^{2} — 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 — 192 = 4 \). Корни: \( x_{1} = \frac{14 — 2}{6} = 2 \), \( x_{2} = \frac{14 + 2}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \). Соответствующие значения \( y \): \( y_{1} = 5 — 6 \cdot 2 = -7 \), \( y_{2} = 5 — 6 \cdot \frac{8}{3} = 5 — 16 = -11 \). Ответ: \( (2; -7) \) и \( \left(\frac{8}{3}; -11\right) \).