ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 13 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Известно, что \(2,4<\sqrt{6}<2,5\). Оцените значение выражения:

1) \(4\sqrt{6}\);

2) \(-5\sqrt{6}\);

3) \(7-\sqrt{6}\);

4) \(\frac{7-\sqrt{6}}{1,3}\).

\(2{,}4 < \sqrt{6} < 2{,}5\)

\(1)\quad 4\sqrt{6}\)
\(2{,}4 < \sqrt{6} < 2{,}5 \Rightarrow 9{,}6 < 4\sqrt{6} < 10\)

\(2)\quad -5\sqrt{6}\)
\(2{,}4 < \sqrt{6} < 2{,}5 \Rightarrow -12{,}5 < -5\sqrt{6} < -12\)

\(3)\quad 7-\sqrt{6}\)
\(2{,}4 < \sqrt{6} < 2{,}5 \Rightarrow 4{,}5 < 7-\sqrt{6} < 4{,}6\)

\(4)\quad \frac{7-\sqrt{6}}{1{,}3}\)
\(2{,}4 < \sqrt{6} < 2{,}5 \Rightarrow 4{,}5 < 7-\sqrt{6} < 4{,}6\)
\(\frac{4{,}5}{1{,}3} < \frac{7-\sqrt{6}}{1{,}3} < \frac{4{,}6}{1{,}3}\)
\(\frac{45}{13} < \frac{7-\sqrt{6}}{1{,}3} < \frac{46}{13}\)
\(3{,}46 < \frac{7-\sqrt{6}}{1{,}3} < 3{,}54\)

1) Для определения значений выражения \(4\sqrt{6}\) нам сначала нужно знать, в каких пределах находится \(\sqrt{6}\). По условию задачи известно, что \(2{,}4 < \sqrt{6} < 2{,}5\). Это означает, что если мы умножим каждую часть этого неравенства на 4, то получим новые границы для выражения \(4\sqrt{6}\). Умножение неравенства на положительное число не изменяет направление знаков. Получаем: \(2{,}4 \times 4 < 4\sqrt{6} < 2{,}5 \times 4\), то есть \(9{,}6 < 4\sqrt{6} < 10\). Таким образом, значение \(4\sqrt{6}\) находится строго между \(9{,}6\) и \(10\).

2) Для нахождения границ выражения \(-5\sqrt{6}\) используем тот же исходный промежуток для \(\sqrt{6}\): \(2{,}4 < \sqrt{6} < 2{,}5\). Теперь умножаем обе части на отрицательное число \(-5\). При умножении неравенства на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные. Запишем: \(-5 \times 2{,}5 < -5\sqrt{6} < -5 \times 2{,}4\). Вычисляем: \(-12{,}5 < -5\sqrt{6} < -12\). То есть значение \(-5\sqrt{6}\) лежит в промежутке от \(-12{,}5\) до \(-12\).

3) Чтобы определить границы выражения \(7-\sqrt{6}\), используем тот же интервал для \(\sqrt{6}\): \(2{,}4 < \sqrt{6} < 2{,}5\). Если вычесть \(\sqrt{6}\) из 7, то для крайних значений получим: \(7 — 2{,}5 < 7 — \sqrt{6} < 7 — 2{,}4\). После вычислений имеем: \(4{,}5 < 7 — \sqrt{6} < 4{,}6\). Это значит, что значение выражения \(7-\sqrt{6}\) обязательно лежит между \(4{,}5\) и \(4{,}6\).

4) Для нахождения границ выражения \(\frac{7-\sqrt{6}}{1{,}3}\) воспользуемся уже найденным промежутком для \(7-\sqrt{6}\): \(4{,}5 < 7-\sqrt{6} < 4{,}6\). Делим обе части неравенства на положительное число \(1{,}3\), при этом знаки не меняются. Получаем: \(\frac{4{,}5}{1{,}3} < \frac{7-\sqrt{6}}{1{,}3} < \frac{4{,}6}{1{,}3}\). Далее переведём десятичные дроби в обычные: \(\frac{4{,}5}{1{,}3} = \frac{45}{13}\), \(\frac{4{,}6}{1{,}3} = \frac{46}{13}\). Значит, \(\frac{45}{13} < \frac{7-\sqrt{6}}{1{,}3} < \frac{46}{13}\). Если округлить значения, получаем \(3{,}46 < \frac{7-\sqrt{6}}{1{,}3} < 3{,}54\).

Все вычисления проведены с учётом правил работы с неравенствами: при умножении или делении на положительное число знаки не меняются; при умножении или делении на отрицательное — меняются на противоположные. Это позволяет точно определить границы всех выражений, используя исходный промежуток для \(\sqrt{6}\).