ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 131 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1) \(x^2 + 2xy + y^2 = 49,\) \(x — y = 3;\)

2) \(4x^2 — 4xy + y^2 = 9,\) \(3x^2 + 2xy — y^2 = 36;\)

3) \(x^2 — xy = -8,\) \(y^2 — xy = 24;\)

4) \(5x^2 + 3y^2 = 18,\) \(5x^2 — 3y^2 = 12;\)

5) \(4xy — y = -40,\) \(5x — 4xy = 27;\)

6) \(x^2 + 25y^2 = 29,\) \(xy = 2.\)

\((-2;\,-5);\;(5;\,2)\)

\((-5;\,-13);\;(3;\,3);\;(-3;\,-3);\;(5;\,13)\)

\((-2;\,-6);\;(2;\,6)\)

\((- \sqrt{3};\,-1);\;(- \sqrt{3};\,1);\;(\sqrt{3};\,-1);\;(\sqrt{3};\,1)\)

\((-1{,}35;\,6{,}25);\;(-1;\,8)\)

\((-2;\,-1);\;(2;\,1);\;(-5;\,-0{,}4);\;(5;\,0{,}4)\)

1.
Пусть \(x — y = 3\). Тогда \(y = x — 3\).
Подставляем во второе:
\(x^{2} + 2x y + y^{2} = 49\)
\(x^{2} + 2x(x-3) + (x-3)^{2} = 49\)
\(x^{2} + 2x^{2} — 6x + x^{2} — 6x + 9 = 49\)
\(4x^{2} — 12x + 9 = 49\)
\(4x^{2} — 12x — 40 = 0\)
\(x^{2} — 3x — 10 = 0\)
\(x = \frac{3 \pm 7}{2}\)
\(x_{1} = 5,\, x_{2} = -2\)
\(y_{1} = 2,\, y_{2} = -5\)
\((-2;\,-5);\;(5;\,2)\)

2.
\(4x^{2} — 4x y + y^{2} = 9\)
\(3x^{2} + 2x y — y^{2} = 36\)
Пусть \(2x — y = 3\), тогда \(y = 2x — 3\).
Подставляем:
\(3x^{2} + 4x^{2} — 6x — (4x^{2} — 12x + 9) = 36\)
\(3x^{2} + 4x^{2} — 6x — 4x^{2} + 12x — 9 = 36\)
\(3x^{2} + 6x — 45 = 0\)
\(x^{2} + 2x — 15 = 0\)
\(x = \frac{-2 \pm 8}{2}\)
\(x_{1} = 3,\, x_{2} = -5\)
\(y_{1} = 3,\, y_{2} = -13\)
Пусть \(2x — y = -3\), тогда \(y = 2x + 3\).
Подставляем:
\(3x^{2} + 4x^{2} + 6x — (4x^{2} + 12x + 9) = 36\)
\(3x^{2} + 4x^{2} + 6x — 4x^{2} — 12x — 9 = 36\)
\(3x^{2} — 6x — 45 = 0\)
\(x^{2} — 2x — 15 = 0\)
\(x = \frac{2 \pm 8}{2}\)
\(x_{3} = 5,\, x_{4} = -3\)
\(y_{3} = 13,\, y_{4} = -3\)
\((-5;\,-13);\;(3;\,3);\;(-3;\,-3);\;(5;\,13)\)

3.
\(x^{2} — x y = -8\)
\(y^{2} — x y = 24\)
Вычтем первое из второго:
\(y^{2} — x^{2} = 32\)
\((y-x)(y+x) = 32\)
Пусть \(y = 3x\), подставим:
\(x^{2} — 3x^{2} = -8\)
\(-2x^{2} = -8\)
\(x^{2} = 4\)
\(x = 2,\, x = -2\)
\(y = 6,\, y = -6\)
\((-2;\,-6);\;(2;\,6)\)

4.
\(5x^{2} + 3y^{2} = 18\)
\(5x^{2} — 3y^{2} = 12\)
Сложим:
\(10x^{2} = 30\)
\(x^{2} = 3\)
\(x = \sqrt{3},\, x = -\sqrt{3}\)
Подставим во второе:
\(5x^{2} — 3y^{2} = 12\)
\(15 — 3y^{2} = 12\)
\(3y^{2} = 3\)
\(y^{2} = 1\)
\(y = 1,\, y = -1\)
\((- \sqrt{3};\,-1);\;(- \sqrt{3};\,1);\;(\sqrt{3};\,-1);\;(\sqrt{3};\,1)\)

5.
\(4x y — y = -40\)
\(5x — 4x y = 27\)
Сложим:
\(5x — y = -13\)
\(y = 5x + 13\)
Подставим во первое:
\(4x(5x + 13) — (5x + 13) = -40\)
\(20x^{2} + 52x — 5x — 13 = -40\)
\(20x^{2} + 47x + 27 = 0\)
\(x = \frac{-47 \pm 7}{40}\)
\(x_{1} = -1{,}35,\, x_{2} = -1\)
\(y_{1} = 6{,}25,\, y_{2} = 8\)
\((-1{,}35;\,6{,}25);\;(-1;\,8)\)

6.
\(x^{2} + 25y^{2} = 29\)
\(x y = 2\)
\(y = \frac{2}{x}\)
Подставим:
\(x^{2} + 25 \left( \frac{2}{x} \right)^{2} = 29\)
\(x^{2} + 25 \cdot \frac{4}{x^{2}} = 29\)
\(x^{4} — 29x^{2} + 100 = 0\)
\(x^{2} = 4,\, x^{2} = 25\)
\(x = 2,\, x = -2,\, x = 5,\, x = -5\)
\(y_{1} = 1,\, y_{2} = -1,\, y_{3} = 0{,}4,\, y_{4} = -0{,}4\)
\((-2;\,-1);\;(2;\,1);\;(-5;\,-0{,}4);\;(5;\,0{,}4)\)