ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 131 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1) \(x^2 + 2xy + y^2 = 49,\) \(x — y = 3;\)

2) \(4x^2 — 4xy + y^2 = 9,\) \(3x^2 + 2xy — y^2 = 36;\)

3) \(x^2 — xy = -8,\) \(y^2 — xy = 24;\)

4) \(5x^2 + 3y^2 = 18,\) \(5x^2 — 3y^2 = 12;\)

5) \(4xy — y = -40,\) \(5x — 4xy = 27;\)

6) \(x^2 + 25y^2 = 29,\) \(xy = 2.\)

1.
Пусть \(x — y = 3\). Тогда \(y = x — 3\).
Подставляем во второе:
\(x^{2} + 2x y + y^{2} = 49\)
\(x^{2} + 2x(x-3) + (x-3)^{2} = 49\)
\(x^{2} + 2x^{2} — 6x + x^{2} — 6x + 9 = 49\)
\(4x^{2} — 12x + 9 = 49\)
\(4x^{2} — 12x — 40 = 0\)
\(x^{2} — 3x — 10 = 0\)
\(x = \frac{3 \pm 7}{2}\)
\(x_{1} = 5,\, x_{2} = -2\)
\(y_{1} = 2,\, y_{2} = -5\)
\((-2;\,-5);\;(5;\,2)\)

2.
\(4x^{2} — 4x y + y^{2} = 9\)
\(3x^{2} + 2x y — y^{2} = 36\)
Пусть \(2x — y = 3\), тогда \(y = 2x — 3\).
Подставляем:
\(3x^{2} + 4x^{2} — 6x — (4x^{2} — 12x + 9) = 36\)
\(3x^{2} + 4x^{2} — 6x — 4x^{2} + 12x — 9 = 36\)
\(3x^{2} + 6x — 45 = 0\)
\(x^{2} + 2x — 15 = 0\)
\(x = \frac{-2 \pm 8}{2}\)
\(x_{1} = 3,\, x_{2} = -5\)
\(y_{1} = 3,\, y_{2} = -13\)
Пусть \(2x — y = -3\), тогда \(y = 2x + 3\).
Подставляем:
\(3x^{2} + 4x^{2} + 6x — (4x^{2} + 12x + 9) = 36\)
\(3x^{2} + 4x^{2} + 6x — 4x^{2} — 12x — 9 = 36\)
\(3x^{2} — 6x — 45 = 0\)
\(x^{2} — 2x — 15 = 0\)
\(x = \frac{2 \pm 8}{2}\)
\(x_{3} = 5,\, x_{4} = -3\)
\(y_{3} = 13,\, y_{4} = -3\)
\((-5;\,-13);\;(3;\,3);\;(-3;\,-3);\;(5;\,13)\)

3.
\(x^{2} — x y = -8\)
\(y^{2} — x y = 24\)
Вычтем первое из второго:
\(y^{2} — x^{2} = 32\)
\((y-x)(y+x) = 32\)
Пусть \(y = 3x\), подставим:
\(x^{2} — 3x^{2} = -8\)
\(-2x^{2} = -8\)
\(x^{2} = 4\)
\(x = 2,\, x = -2\)
\(y = 6,\, y = -6\)
\((-2;\,-6);\;(2;\,6)\)

4.
\(5x^{2} + 3y^{2} = 18\)
\(5x^{2} — 3y^{2} = 12\)
Сложим:
\(10x^{2} = 30\)
\(x^{2} = 3\)
\(x = \sqrt{3},\, x = -\sqrt{3}\)
Подставим во второе:
\(5x^{2} — 3y^{2} = 12\)
\(15 — 3y^{2} = 12\)
\(3y^{2} = 3\)
\(y^{2} = 1\)
\(y = 1,\, y = -1\)
\((- \sqrt{3};\,-1);\;(- \sqrt{3};\,1);\;(\sqrt{3};\,-1);\;(\sqrt{3};\,1)\)

5.
\(4x y — y = -40\)
\(5x — 4x y = 27\)
Сложим:
\(5x — y = -13\)
\(y = 5x + 13\)
Подставим во первое:
\(4x(5x + 13) — (5x + 13) = -40\)
\(20x^{2} + 52x — 5x — 13 = -40\)
\(20x^{2} + 47x + 27 = 0\)
\(x = \frac{-47 \pm 7}{40}\)
\(x_{1} = -1{,}35,\, x_{2} = -1\)
\(y_{1} = 6{,}25,\, y_{2} = 8\)
\((-1{,}35;\,6{,}25);\;(-1;\,8)\)

6.
\(x^{2} + 25y^{2} = 29\)
\(x y = 2\)
\(y = \frac{2}{x}\)
Подставим:
\(x^{2} + 25 \left( \frac{2}{x} \right)^{2} = 29\)
\(x^{2} + 25 \cdot \frac{4}{x^{2}} = 29\)
\(x^{4} — 29x^{2} + 100 = 0\)
\(x^{2} = 4,\, x^{2} = 25\)
\(x = 2,\, x = -2,\, x = 5,\, x = -5\)
\(y_{1} = 1,\, y_{2} = -1,\, y_{3} = 0{,}4,\, y_{4} = -0{,}4\)
\((-2;\,-1);\;(2;\,1);\;(-5;\,-0{,}4);\;(5;\,0{,}4)\)

1.
Рассмотрим систему уравнений: \(x — y = 3\) и \(x^{2} + 2x y + y^{2} = 49\). Первое уравнение позволяет выразить одну переменную через другую: \(y = x — 3\). Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем \(x^{2} + 2x(x-3) + (x-3)^{2} = 49\). Раскрывая скобки и приводя подобные члены: \(x^{2} + 2x^{2} — 6x + x^{2} — 6x + 9 = 49\), что после упрощения дает \(4x^{2} — 12x + 9 = 49\). Переносим 49 в левую часть: \(4x^{2} — 12x — 40 = 0\). Делим обе части на 4, чтобы упростить уравнение: \(x^{2} — 3x — 10 = 0\).

Решаем квадратное уравнение. Формула корней: \(x = \frac{3 \pm 7}{2}\), где дискриминант равен 49. Получаем два значения: \(x_{1} = 5\), \(x_{2} = -2\). Теперь вычисляем соответствующие значения \(y\): \(y_{1} = x_{1} — 3 = 2\), \(y_{2} = x_{2} — 3 = -5\). Таким образом, система имеет два решения: \((5;\,2)\) и \((-2;\,-5)\).

Каждое из решений можно проверить обратной подстановкой: для \((5;\,2)\) подставляем в исходные уравнения и убеждаемся, что оба равенства выполняются, аналогично для \((-2;\,-5)\). Это показывает, что найденные пары чисел являются корректными решениями данной системы уравнений.

2.
Рассматриваем систему: \(4x^{2} — 4x y + y^{2} = 9\) и \(3x^{2} + 2x y — y^{2} = 36\). Применяем метод подстановки, вводя новую переменную: пусть \(2x — y = 3\), отсюда \(y = 2x — 3\). Подставляем это выражение во второе уравнение: \(3x^{2} + 4x^{2} — 6x — (4x^{2} — 12x + 9) = 36\). После раскрытия скобок и приведения подобных членов имеем \(3x^{2} + 6x — 45 = 0\), делим на 3: \(x^{2} + 2x — 15 = 0\).

Находим корни: \(x = \frac{-2 \pm 8}{2}\), получаем \(x_{1} = 3\), \(x_{2} = -5\). Соответственно \(y_{1} = 3\), \(y_{2} = -13\). Теперь рассмотрим альтернативу: \(2x — y = -3\), тогда \(y = 2x + 3\). Подставляем в уравнение и получаем \(x^{2} — 2x — 15 = 0\), корни: \(x = \frac{2 \pm 8}{2}\), то есть \(x_{3} = 5\), \(x_{4} = -3\), а \(y_{3} = 13\), \(y_{4} = -3\). Таким образом, решения системы: \((-5;\,-13)\), \((3;\,3)\), \((-3;\,-3)\), \((5;\,13)\).

Для проверки правильности решений можно подставить каждую пару \((x,\,y)\) в исходные уравнения и убедиться, что оба равенства выполняются. Все четыре пары удовлетворяют условиям системы, что подтверждает полноту решения.

3.
Рассмотрим систему: \(x^{2} — x y = -8\) и \(y^{2} — x y = 24\). Вычтем первое уравнение из второго: \(y^{2} — x^{2} = 32\), или \((y-x)(y+x) = 32\). Предположим, что \(y = 3x\). Подставляем в первое уравнение: \(x^{2} — 3x^{2} = -8\), то есть \(-2x^{2} = -8\), отсюда \(x^{2} = 4\), следовательно \(x = 2\) или \(x = -2\).

Соответствующие значения \(y\): \(y = 3x\), то есть \(y = 6\) или \(y = -6\). Решения системы: \((2;\,6)\) и \((-2;\,-6)\). Проверка подстановкой подтверждает корректность найденных пар, так как оба уравнения системы выполняются для этих значений.

4.
Имеем систему: \(5x^{2} + 3y^{2} = 18\) и \(5x^{2} — 3y^{2} = 12\). Складываем оба уравнения: \(5x^{2} + 3y^{2} + 5x^{2} — 3y^{2} = 18 + 12\), получаем \(10x^{2} = 30\), отсюда \(x^{2} = 3\), значит \(x = \sqrt{3}\) или \(x = -\sqrt{3}\).

Подставляем найденные значения \(x\) во второе уравнение: \(5x^{2} — 3y^{2} = 12\), то есть \(15 — 3y^{2} = 12\), отсюда \(3y^{2} = 3\), значит \(y^{2} = 1\), следовательно \(y = 1\) или \(y = -1\). Значит, возможные решения: \((\sqrt{3};\,1)\), \((\sqrt{3};\,-1)\), \((-\sqrt{3};\,1)\), \((-\sqrt{3};\,-1)\).

Проверяя каждую пару подстановкой в исходные уравнения, убеждаемся, что все четыре пары удовлетворяют системе, что подтверждает правильность решения.

5.
Рассматриваем систему: \(4x y — y = -40\) и \(5x — 4x y = 27\). Складываем уравнения: \(5x — y = -13\), отсюда \(y = 5x + 13\). Подставляем это выражение в первое уравнение: \(4x(5x + 13) — (5x + 13) = -40\). Раскрываем скобки: \(20x^{2} + 52x — 5x — 13 = -40\), упрощаем: \(20x^{2} + 47x + 27 = 0\).

Находим корни квадратного уравнения: \(x = \frac{-47 \pm 7}{40}\), то есть \(x_{1} = -1{,}35\), \(x_{2} = -1\). Соответственно \(y_{1} = 5 \cdot (-1{,}35) + 13 = 6{,}25\), \(y_{2} = 5 \cdot (-1) + 13 = 8\). Решения системы: \((-1{,}35;\,6{,}25)\) и \((-1;\,8)\).

Проверка обратной подстановкой в исходные уравнения подтверждает корректность решений, так как оба равенства выполняются для найденных пар.

6.
Рассмотрим систему: \(x^{2} + 25y^{2} = 29\) и \(x y = 2\). Из второго уравнения выражаем одну переменную через другую: \(y = \frac{2}{x}\). Подставляем в первое уравнение: \(x^{2} + 25 \left( \frac{2}{x} \right)^{2} = 29\), раскрываем скобки: \(x^{2} + 25 \cdot \frac{4}{x^{2}} = 29\), приводим к общему знаменателю: \(x^{4} — 29x^{2} + 100 = 0\).

Решаем это биквадратное уравнение: \(x^{2} = 4\) или \(x^{2} = 25\), значит \(x = 2\), \(x = -2\), \(x = 5\), \(x = -5\). Соответствующие значения \(y\): для \(x = 2\) и \(x = -2\) получаем \(y = 1\) и \(y = -1\), для \(x = 5\) и \(x = -5\) получаем \(y = 0{,}4\) и \(y = -0{,}4\). Решения: \((2;\,1)\), \((-2;\,-1)\), \((5;\,0{,}4)\), \((-5;\,-0{,}4)\).

Проверяя каждую пару обратной подстановкой в исходные уравнения, убеждаемся, что все четыре пары являются корректными решениями системы.