ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 133 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1) \(\begin{cases} x^2 + 3xy — 10y^2 = 0, \\ x^2 + 2xy — y^2 = 28; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} 2x^2 + xy — 3y^2 = 3, \\ x^2 — 4xy — 3y^2 = 9. \end{cases}\)

1.
Рассмотрим первое уравнение:
\(x^{2} + 3xy — 10y^{2} = 0\)
Рассматриваем как квадратное уравнение относительно \(x\):
\(x^{2} + 3y x — 10y^{2} = 0\)
Дискриминант:
\(D = (3y)^{2} — 4\cdot1\cdot(-10y^{2}) = 9y^{2} + 40y^{2} = 49y^{2}\)
Корни:
\(x_{1} = \frac{-3y — 7y}{2} = -5y\)
\(x_{2} = \frac{-3y + 7y}{2} = 2y\)

Подставляем \(x_{1} = -5y\) во второе уравнение:
\((-5y)^{2} + 2(-5y)y — y^{2} = 28\)
\(25y^{2} — 10y^{2} — y^{2} = 28\)
\(14y^{2} = 28\)
\(y^{2} = 2\)
\(y = \sqrt{2}\) или \(y = -\sqrt{2}\)
\(x = -5y = -5\sqrt{2}\) или \(x = 5\sqrt{2}\)

Подставляем \(x_{2} = 2y\) во второе уравнение:
\((2y)^{2} + 2(2y)y — y^{2} = 28\)
\(4y^{2} + 4y^{2} — y^{2} = 28\)
\(7y^{2} = 28\)
\(y^{2} = 4\)
\(y = 2\) или \(y = -2\)
\(x = 2y = 4\) или \(x = -4\)

Ответ:
\((-5\sqrt{2};\sqrt{2});\ (5\sqrt{2};-\sqrt{2});\ (-4;-2);\ (4;2)\)

2.
Рассмотрим первое уравнение:
\(2x^{2} + xy — 3y^{2} = 3\)
Второе уравнение:
\(x^{2} — 4xy — 3y^{2} = 9\)
Пусть \(y = t x\), тогда:
\(2x^{2} + t x^{2} — 3 t^{2} x^{2} = 3\)
\(x^{2}(2 + t — 3t^{2}) = 3\)
\(x^{2} = \frac{3}{2 + t — 3t^{2}}\)

Во втором уравнении:
\(x^{2} — 4 t x^{2} — 3 t^{2} x^{2} = 9\)
\(x^{2}(1 — 4t — 3t^{2}) = 9\)
\(x^{2} = \frac{9}{1 — 4t — 3t^{2}}\)

Приравниваем правые части:
\(\frac{3}{2 + t — 3t^{2}} = \frac{9}{1 — 4t — 3t^{2}}\)
\((1 — 4t — 3t^{2})\cdot3 = (2 + t — 3t^{2})\cdot9\)
\(3 — 12t — 9t^{2} = 18 + 9t — 27t^{2}\)
\(3 — 12t — 9t^{2} — 18 — 9t + 27t^{2} = 0\)
\(-15 — 21t + 18t^{2} = 0\)
\(18t^{2} — 21t — 15 = 0\)
Делим на 3:
\(6t^{2} — 7t — 5 = 0\)

Находим дискриминант:
\(D = (-7)^{2} — 4\cdot6\cdot(-5) = 49 + 120 = 169\)
Корни:
\(t_{1} = \frac{7 — 13}{12} = -\frac{1}{2}\)
\(t_{2} = \frac{7 + 13}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}\)

Для \(t_{1} = -\frac{1}{2}\):
\(y = -\frac{1}{2}x\)
Подставляем в первое уравнение:
\(2x^{2} + x(-\frac{1}{2}x) — 3(-\frac{1}{2}x)^{2} = 3\)
\(2x^{2} — \frac{1}{2}x^{2} — 3\cdot\frac{1}{4}x^{2} = 3\)
\(2x^{2} — \frac{1}{2}x^{2} — \frac{3}{4}x^{2} = 3\)
\(2 — \frac{1}{2} — \frac{3}{4} = \frac{4}{4} — \frac{2}{4} — \frac{3}{4} = \frac{3}{4}\)
\(\frac{3}{4}x^{2} = 3\)
\(x^{2} = 4\)
\(x = 2\) или \(x = -2\)
\(y = -1\) или \(y = 1\)

Для \(t_{2} = \frac{5}{3}\):
\(y = \frac{5}{3}x\)
Подставляем в первое уравнение:
\(2x^{2} + x(\frac{5}{3}x) — 3(\frac{5}{3}x)^{2} = 3\)
\(2x^{2} + \frac{5}{3}x^{2} — 3\cdot\frac{25}{9}x^{2} = 3\)
\(2x^{2} + \frac{5}{3}x^{2} — \frac{25}{3}x^{2} = 3\)
\(2 + \frac{5}{3} — \frac{25}{3} = 2 — \frac{20}{3} = -\frac{14}{3}\)
\(-\frac{14}{3}x^{2} = 3\)
\(x^{2} = -\frac{9}{14}\)
Нет действительных решений.

Ответ:
\((2;-1);\ (-2;1)\)

Рассмотрим решение второго пункта более подробно, с максимальной детализацией всех вычислений и пояснений на каждом этапе, чтобы полностью раскрыть ход решения и логику каждого шага. Система уравнений выглядит так: \(2x^{2} + xy — 3y^{2} = 3\) и \(x^{2} — 4xy — 3y^{2} = 9\). Для упрощения системы воспользуемся заменой переменной: пусть \(y = t x\), где \(t\) — параметр, выражающий отношение \(y\) к \(x\). Подставим \(y = t x\) в оба уравнения, чтобы получить уравнения только относительно \(x\) и \(t\):

В первое уравнение подставляем \(y = t x\):
\(2x^{2} + x t x — 3 (t x)^{2} = 3\),
раскроем скобки:
\(2x^{2} + t x^{2} — 3 t^{2} x^{2} = 3\).
Вынесем \(x^{2}\) за скобку:
\(x^{2}(2 + t — 3 t^{2}) = 3\),
откуда
\(x^{2} = \frac{3}{2 + t — 3 t^{2}}\).

Во втором уравнении аналогично:
\(x^{2} — 4 x t x — 3 (t x)^{2} = 9\),
раскроем скобки:
\(x^{2} — 4 t x^{2} — 3 t^{2} x^{2} = 9\),
вынесем \(x^{2}\) за скобку:
\(x^{2}(1 — 4 t — 3 t^{2}) = 9\),
откуда
\(x^{2} = \frac{9}{1 — 4 t — 3 t^{2}}\).

Теперь приравниваем выражения для \(x^{2}\):
\(\frac{3}{2 + t — 3 t^{2}} = \frac{9}{1 — 4 t — 3 t^{2}}\).
Перемножим крест-накрест:
\(3 (1 — 4 t — 3 t^{2}) = 9 (2 + t — 3 t^{2})\).
Раскроем скобки:
\(3 — 12 t — 9 t^{2} = 18 + 9 t — 27 t^{2}\).
Приведём подобные члены, перенесём всё в одну сторону:
\(3 — 12 t — 9 t^{2} — 18 — 9 t + 27 t^{2} = 0\),
\(-15 — 21 t + 18 t^{2} = 0\),
или
\(18 t^{2} — 21 t — 15 = 0\).
Разделим обе части на 3 для упрощения:
\(6 t^{2} — 7 t — 5 = 0\).

Теперь решим квадратное уравнение относительно параметра \(t\): \(6 t^{2} — 7 t — 5 = 0\). Найдём дискриминант:
\(D = (-7)^{2} — 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 49 + 120 = 169\).
Корни находятся по формуле:
\(t_{1} = \frac{7 — 13}{12} = -\frac{1}{2}\),
\(t_{2} = \frac{7 + 13}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}\).

Рассмотрим оба случая для найденных значений параметра \(t\). Первый случай: \(t_{1} = -\frac{1}{2}\), отсюда \(y = -\frac{1}{2}x\). Подставим это выражение в первое уравнение системы:
\(2x^{2} + x(-\frac{1}{2}x) — 3(-\frac{1}{2}x)^{2} = 3\),
преобразуем:
\(2x^{2} — \frac{1}{2}x^{2} — 3 \cdot \frac{1}{4}x^{2} = 3\),
\(2x^{2} — \frac{1}{2}x^{2} — \frac{3}{4}x^{2} = 3\).
Сложим коэффициенты:
\(2 — \frac{1}{2} — \frac{3}{4} = \frac{4}{4} — \frac{2}{4} — \frac{3}{4} = \frac{4 — 2 — 3}{4} = \frac{-1}{4}\).
Но здесь ошибка в вычислениях коэффициентов, пересчитаем внимательно:
\(2x^{2} — \frac{1}{2}x^{2} — \frac{3}{4}x^{2} = (2 — 0.5 — 0.75)x^{2} = 0.75x^{2}\).
Тогда
\(0.75x^{2} = 3\),
\(x^{2} = \frac{3}{0.75} = 4\),
\(x = 2\) или \(x = -2\).
Соответственно, \(y = -1\) или \(y = 1\).

Второй случай: \(t_{2} = \frac{5}{3}\), отсюда \(y = \frac{5}{3}x\). Подставляем в первое уравнение:
\(2x^{2} + x(\frac{5}{3}x) — 3(\frac{5}{3}x)^{2} = 3\),
\(2x^{2} + \frac{5}{3}x^{2} — 3 \cdot \frac{25}{9}x^{2} = 3\),
\(2x^{2} + \frac{5}{3}x^{2} — \frac{25}{3}x^{2} = 3\).
Сложим коэффициенты:
\(2 + \frac{5}{3} — \frac{25}{3} = 2 — \frac{20}{3} = -\frac{14}{3}\),
получаем уравнение:
\(-\frac{14}{3}x^{2} = 3\),
\(x^{2} = -\frac{9}{14}\).
Так как \(x^{2}\) не может быть отрицательным для вещественных чисел, этот случай не даёт действительных решений.

В результате система имеет только два действительных решения, которые можно записать в виде пар:
\((2;-1)\) и \((-2;1)\).