ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 134 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Сколько решений в зависимости от значения \(a\) имеет система уравнений:

1) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x — a; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = a^2, \\ |y| = 5? \end{cases}\)

1)
Рассмотрим систему:
\(x^{2} + y^{2} = 4\)
\(y = x — a\)

Подставим второе уравнение в первое:
\(x^{2} + (x — a)^{2} = 4\)
\(x^{2} + x^{2} — 2a x + a^{2} = 4\)
\(2x^{2} — 2a x + a^{2} — 4 = 0\)

Это квадратное уравнение относительно \(x\):
\(2x^{2} — 2a x + a^{2} — 4 = 0\)

Выпишем дискриминант:
\(D = (-2a)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot (a^{2} — 4)\)
\(D = 4a^{2} — 8a^{2} + 32\)
\(D = 32 — 4a^{2}\)

Если \(D > 0\), то два решения:
\(32 — 4a^{2} > 0\)
\(8 > a^{2}\)
\(a \in (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})\)

Если \(D = 0\), то одно решение:
\(a^{2} = 8\)
\(a = 2\sqrt{2}\) или \(a = -2\sqrt{2}\)

Если \(D < 0\), то решений \(\emptyset\):
\(a^{2} > 8\)
\(a \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)\)

2)
Рассмотрим систему:
\(x^{2} + y^{2} = a^{2}\)
\(|y| = 5\)

Из второго уравнения:
\(y = 5\) или \(y = -5\)

Подставляем в первое уравнение:
\(x^{2} + 25 = a^{2}\)
\(x^{2} = a^{2} — 25\)

Рассмотрим случаи:
Если \(a^{2} — 25 > 0\), то для каждого значения \(y\) получаем два значения \(x\):
\(a^{2} > 25\)
\(|a| > 5\)
\(a \in (-\infty; -5) \cup (5; +\infty)\)
Всего четыре решения.

Если \(a^{2} — 25 = 0\), то для каждого значения \(y\) получаем одно значение \(x\):
\(a^{2} = 25\)
\(a = 5\) или \(a = -5\)
Всего два решения.

Если \(a^{2} — 25 < 0\), то решений \(\emptyset\):
\(|a| < 5\)
\(a \in (-5; 5)\)

В первом пункте рассматривается система уравнений, описывающая пересечение окружности радиуса 2 с прямой, где параметр \(a\) определяет положение прямой относительно окружности. После подстановки второго уравнения во второе получаем квадратное уравнение относительно \(x\): \(2x^{2} — 2a x + a^{2} — 4 = 0\). Для анализа количества решений важно вычислить дискриминант этого уравнения: \(D = (-2a)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot (a^{2} — 4)\), что приводит к выражению \(D = 32 — 4a^{2}\). Если дискриминант положителен (\(D > 0\)), то существует два значения \(x\), а значит две точки пересечения прямой и окружности: \(32 — 4a^{2} > 0\), отсюда \(8 > a^{2}\), то есть \(a\) лежит в интервале \((-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})\). Если дискриминант равен нулю (\(D = 0\)), то прямая касается окружности, и существует единственная точка касания: \(a^{2} = 8\), соответственно, \(a = 2\sqrt{2}\) или \(a = -2\sqrt{2}\). Когда дискриминант отрицателен (\(D < 0\)), решений нет, прямая не пересекает окружность: \(a^{2} > 8\), то есть \(a \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)\).

Во втором пункте анализируется система, где окружность радиуса \(a\) пересекается с прямой, параллельной оси \(x\) и заданной условием \(|y| = 5\). Это означает, что возможны только два значения для \(y\): \(y = 5\) и \(y = -5\). Подставляя эти значения в уравнение окружности, получаем: \(x^{2} + 25 = a^{2}\), отсюда \(x^{2} = a^{2} — 25\). Если \(a^{2} — 25 > 0\), то для каждого значения \(y\) возможно два значения \(x\) (по модулю), так как квадратный корень из положительного числа дает два решения: \(x = \pm\sqrt{a^{2} — 25}\). Таким образом, при \(a^{2} > 25\) (то есть \(|a| > 5\), \(a \in (-\infty; -5) \cup (5; +\infty)\)), существует четыре точки пересечения прямой и окружности. Если \(a^{2} — 25 = 0\), то для каждого значения \(y\) только одно значение \(x\), а значит, всего две точки касания: \(a = 5\) или \(a = -5\). Если \(a^{2} — 25 < 0\), то решений нет, поскольку \(x^{2}\) не может быть отрицательным, то есть \(|a| < 5\), \(a \in (-5; 5)\).

В обеих задачах ключевым моментом является анализ выражения, стоящего под знаком квадратного корня, что определяет количество решений системы. В первом случае это дискриминант квадратного уравнения, во втором — выражение \(a^{2} — 25\) под корнем. Если оно положительно, решений несколько; если равно нулю — одно; если отрицательно — решений нет (\(\emptyset\)).