ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 134 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Сколько решений в зависимости от значения \(a\) имеет система уравнений:

1) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x — a; \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} x^2 + y^2 = a^2, \\ |y| = 5? \end{cases}\)

1)
Если \(a \in (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})\), то два решения.
Если \(a = 2\sqrt{2}\) или \(a = -2\sqrt{2}\), то одно решение.
Если \(a \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)\), то решений \(\emptyset\).

2)
Если \(a \in (-\infty; -5) \cup (5; +\infty)\), то четыре решения.
Если \(a = 5\) или \(a = -5\), то два решения.
Если \(a \in (-5; 5)\), то решений \(\emptyset\).

1)
Рассмотрим систему:
\(x^{2} + y^{2} = 4\)
\(y = x — a\)

Подставим второе уравнение в первое:
\(x^{2} + (x — a)^{2} = 4\)
\(x^{2} + x^{2} — 2a x + a^{2} = 4\)
\(2x^{2} — 2a x + a^{2} — 4 = 0\)

Это квадратное уравнение относительно \(x\):
\(2x^{2} — 2a x + a^{2} — 4 = 0\)

Выпишем дискриминант:
\(D = (-2a)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot (a^{2} — 4)\)
\(D = 4a^{2} — 8a^{2} + 32\)
\(D = 32 — 4a^{2}\)

Если \(D > 0\), то два решения:
\(32 — 4a^{2} > 0\)
\(8 > a^{2}\)
\(a \in (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})\)

Если \(D = 0\), то одно решение:
\(a^{2} = 8\)
\(a = 2\sqrt{2}\) или \(a = -2\sqrt{2}\)

Если \(D < 0\), то решений \(\emptyset\):
\(a^{2} > 8\)
\(a \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)\)

2)
Рассмотрим систему:
\(x^{2} + y^{2} = a^{2}\)
\(|y| = 5\)

Из второго уравнения:
\(y = 5\) или \(y = -5\)

Подставляем в первое уравнение:
\(x^{2} + 25 = a^{2}\)
\(x^{2} = a^{2} — 25\)

Рассмотрим случаи:
Если \(a^{2} — 25 > 0\), то для каждого значения \(y\) получаем два значения \(x\):
\(a^{2} > 25\)
\(|a| > 5\)
\(a \in (-\infty; -5) \cup (5; +\infty)\)
Всего четыре решения.

Если \(a^{2} — 25 = 0\), то для каждого значения \(y\) получаем одно значение \(x\):
\(a^{2} = 25\)
\(a = 5\) или \(a = -5\)
Всего два решения.

Если \(a^{2} — 25 < 0\), то решений \(\emptyset\):
\(|a| < 5\)
\(a \in (-5; 5)\)