ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 138 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

От пристани А в направлении пристани В, расстояние между которыми равно 90 км, отправились одновременно два катера. Первый катер прибыл на пристань В на 1 ч 15 мин раньше второго. Найдите скорость каждого катера, если второй катер за 3 ч проходит на 30 км больше, чем первый за 1 ч, и скорость каждого катера не превышает 30 км/ч.

Пусть скорость первого катера \(x\) км/ч, второго \(y\) км/ч.

Второй катер за 3 часа проходит на 30 км больше, чем первый за 1 час:
\(3y = x + 30\)
\(x = 3y — 30\)

Время в пути первого катера: \(\frac{90}{x}\), второго: \(\frac{90}{y}\). Первый прибыл на 1 ч 15 мин раньше:
\(\frac{90}{y} — \frac{90}{x} = 1{,}25\)

Подставим \(x\):
\(\frac{90}{y} — \frac{90}{3y — 30} = 1{,}25\)

Приведём к общему знаменателю:
\(\frac{90(3y — 30) — 90y}{y(3y — 30)} = 1{,}25\)
\(\frac{270y — 2700 — 90y}{y(3y — 30)} = 1{,}25\)
\(\frac{180y — 2700}{y(3y — 30)} = 1{,}25\)

Умножим обе части на \(y(3y — 30)\):
\(180y — 2700 = 1{,}25y(3y — 30)\)
\(180y — 2700 = 3{,}75y^{2} — 37{,}5y\)
\(3{,}75y^{2} — 217{,}5y + 2700 = 0\)
Поделим на \(3{,}75\):
\(y^{2} — 58y + 720 = 0\)

Найдём дискриминант:
\(D = 58^{2} — 4 \cdot 720 = 3364 — 2880 = 484\)

\(y_{1} = \frac{58 — 22}{2} = 18\)
\(y_{2} = \frac{58 + 22}{2} = 40\)

Скорость не больше 30, значит \(y = 18\) км/ч.

\(x = 3 \cdot 18 — 30 = 54 — 30 = 24\) км/ч.

24 км/ч; 18 км/ч

Рассмотрим подробно процесс решения задачи о скоростях катеров, уделяя внимание каждому этапу вычислений и преобразований. Пусть скорость первого катера обозначена через \(x\) км/ч, а второго — через \(y\) км/ч. По условию задачи второй катер за 3 часа проходит на 30 км больше, чем первый за 1 час, что математически выражается равенством \(3y = x + 30\). Это позволяет выразить скорость первого катера через скорость второго: \(x = 3y — 30\).

Далее, время в пути для каждого катера рассчитывается по формуле \(\frac{S}{v}\), где \(S\) — расстояние, а \(v\) — скорость. Для первого катера это \(\frac{90}{x}\), для второго — \(\frac{90}{y}\). Из условия задачи известно, что первый катер прибыл на 1 час 15 минут раньше второго, то есть на 1,25 часа: \(\frac{90}{y} — \frac{90}{x} = 1{,}25\). Подставляя выражение для \(x\), получаем: \(\frac{90}{y} — \frac{90}{3y — 30} = 1{,}25\). Приведём к общему знаменателю: \(\frac{90(3y — 30) — 90y}{y(3y — 30)} = 1{,}25\), раскроем скобки в числителе: \(270y — 2700 — 90y = 180y — 2700\). Таким образом, уравнение принимает вид: \(\frac{180y — 2700}{y(3y — 30)} = 1{,}25\).

Следующим шагом переносим множитель вправо: \(180y — 2700 = 1{,}25y(3y — 30)\). Раскрываем скобки: \(1{,}25y(3y — 30) = 3{,}75y^{2} — 37{,}5y\). Переносим все члены в одну часть уравнения: \(180y — 2700 — 3{,}75y^{2} + 37{,}5y = 0\), приводим подобные: \(-3{,}75y^{2} + 217{,}5y — 2700 = 0\). Умножаем обе части на \(-1\) для удобства: \(3{,}75y^{2} — 217{,}5y + 2700 = 0\), после чего делим на \(3{,}75\): \(y^{2} — 58y + 720 = 0\).

Теперь находим дискриминант квадратного уравнения: \(D = 58^{2} — 4 \cdot 720 = 3364 — 2880 = 484\). Корни уравнения будут: \(y_{1} = \frac{58 — 22}{2} = 18\), \(y_{2} = \frac{58 + 22}{2} = 40\). Согласно ограничению задачи, скорость не может превышать 30 км/ч, поэтому выбираем подходящий корень: \(y = 18\) км/ч. Затем вычисляем скорость первого катера по ранее найденной формуле: \(x = 3 \cdot 18 — 30 = 54 — 30 = 24\) км/ч.

Итак, окончательные значения скоростей катеров: первый катер движется со скоростью 24 км/ч, а второй — со скоростью 18 км/ч. Всё решение основано на последовательном применении алгебраических преобразований, использовании формулы времени в пути и свойствах квадратного уравнения.