ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 14 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Дано: \(2 < x < 7\). Оцените значение выражения \(\frac{1}{x}\).

Дано: \(2 < x < 7\)

Оценим выражение \(\frac{1}{x}\):

Если \(x > 2\), то \(\frac{1}{x} < \frac{1}{2}\).

Если \(x < 7\), то \(\frac{1}{x} > \frac{1}{7}\).

Значит, \(\frac{1}{7} < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}\).

Рассмотрим неравенство \(2 < x < 7\) и проанализируем, как оно влияет на выражение \(\frac{1}{x}\). Поскольку переменная \(x\) принимает значения строго больше 2 и строго меньше 7, область определения функции \(\frac{1}{x}\) ограничена интервалом от 2 до 7, не включая сами границы. Для дробно-рациональной функции \(\frac{1}{x}\) характерно убывание на промежутке положительных чисел: чем больше значение \(x\), тем меньше значение самой дроби. Это объясняется тем, что единица делится на всё большее число, а значит результат становится всё меньше.

Для поиска наименьшего значения выражения \(\frac{1}{x}\) следует рассмотреть максимальное значение переменной \(x\) на данном интервале, то есть когда \(x\) стремится к 7, но не достигает его. В таком случае \(\frac{1}{x}\) стремится к значению \(\frac{1}{7}\), но никогда не становится равным ему, поскольку 7 не входит в область определения. Следовательно, математически корректно записать, что \(\frac{1}{x}\) всегда больше \(\frac{1}{7}\), то есть \(\frac{1}{x} > \frac{1}{7}\).

Аналогично, для поиска наибольшего значения выражения \(\frac{1}{x}\), нужно рассмотреть минимальное возможное значение переменной \(x\), то есть когда \(x\) стремится к 2, но не достигает его. В этом случае \(\frac{1}{x}\) стремится к значению \(\frac{1}{2}\), но не достигает его, поскольку 2 не включено в область определения. Таким образом, можно записать, что \(\frac{1}{x}\) всегда меньше \(\frac{1}{2}\), то есть \(\frac{1}{x} < \frac{1}{2}\).

В итоге, объединяя оба условия, получаем двойное неравенство для выражения \(\frac{1}{x}\) при исходном ограничении на \(x\): \(\frac{1}{7} < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}\). Это неравенство полностью отражает все возможные значения дроби \(\frac{1}{x}\) при \(x\) из заданного интервала, и показывает, что наименьшее значение стремится к \(\frac{1}{7}\), а наибольшее — к \(\frac{1}{2}\), но ни одно из этих крайних значений не достигается.