ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 141 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Две бригады, работая одновременно, могут отремонтировать дорогу за 6 ч. Если же сначала первая бригада самостоятельно отремонтирует дороги, а потом вторая — оставшуюся часть дороги, то весь ремонт будет выполнен за 12 ч. За сколько часов может отремонтировать дорогу каждая бригада, работая самостоятельно?

Пусть \(x\) и \(y\) — время работы первой и второй бригады.

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\)

\(\frac{3}{5}x + \frac{2}{5}y = 12\)

\(3x + 2y = 60\)

\(2y = 60 — 3x\)

\(y = \frac{60 — 3x}{2}\)

\(\frac{1}{x} + \frac{2}{60 — 3x} = \frac{1}{6}\)

\(6(60 — 3x) + 12x = x(60 — 3x)\)

\(360 — 18x + 12x = 60x — 3x^2\)

\(360 — 6x = 60x — 3x^2\)

\(3x^2 — 66x + 360 = 0\)

\(x^2 — 22x + 120 = 0\)

\(D = 22^2 — 4 \cdot 120 = 484 — 480 = 4\)

\(x_1 = \frac{22 — 2}{2} = 10\)

\(x_2 = \frac{22 + 2}{2} = 12\)

\(y_1 = \frac{60 — 3 \cdot 10}{2} = \frac{30}{2} = 15\)

\(y_2 = \frac{60 — 3 \cdot 12}{2} = \frac{24}{2} = 12\)

10 ч; 15 ч или 12 ч; 12 ч.

1. Пусть \(x\) — время, за которое первая бригада может отремонтировать всю дорогу одна, а \(y\) — время для второй бригады.

2. Совместная производительность: за 1 час первая бригада делает \(\frac{1}{x}\) дороги, вторая — \(\frac{1}{y}\). Вместе они делают \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) дороги за час. Всю дорогу они делают за 6 часов, значит:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\)

3. Если первая бригада делает \(\frac{3}{5}\) дороги, а вторая — \(\frac{2}{5}\) дороги, то время работы первой бригады: \(\frac{3}{5}x\), второй — \(\frac{2}{5}y\). Всё вместе заняло 12 часов:
\(\frac{3}{5}x + \frac{2}{5}y = 12\)

4. Умножим второе уравнение на 5:
\(3x + 2y = 60\)

5. Выразим \(y\) через \(x\):
\(2y = 60 — 3x\)
\(y = \frac{60 — 3x}{2}\)

6. Подставим выражение для \(y\) в первое уравнение:
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{\frac{60 — 3x}{2}} = \frac{1}{6}\)
Вторую дробь перевернём:
\(\frac{1}{x} + \frac{2}{60 — 3x} = \frac{1}{6}\)

7. Домножим обе части на \(6x(60 — 3x)\):
\(6(60 — 3x) + 12x = x(60 — 3x)\)

8. Раскроем скобки:
\(360 — 18x + 12x = 60x — 3x^2\)
\(360 — 6x = 60x — 3x^2\)

9. Перенесём всё в одну сторону:
\(3x^2 — 66x + 360 = 0\)
Поделим на 3:
\(x^2 — 22x + 120 = 0\)

10. Найдём дискриминант:
\(D = 22^2 — 4 \cdot 120 = 484 — 480 = 4\)

11. Найдём корни:
\(x_1 = \frac{22 — 2}{2} = 10\)
\(x_2 = \frac{22 + 2}{2} = 12\)

12. Найдём значения \(y\):
Для \(x = 10\):
\(y_1 = \frac{60 — 3 \cdot 10}{2} = \frac{30}{2} = 15\)
Для \(x = 12\):
\(y_2 = \frac{60 — 3 \cdot 12}{2} = \frac{24}{2} = 12\)

10 ч; 15 ч или 12 ч; 12 ч.