ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 143 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Из города А в город В, расстояние между которыми равно 300 км, выехал грузовик со скоростью 40 км/ч. Через 1 ч после этого из города А в город В выехал легковой автомобиль, который догнал грузовик, и водителю грузовика было передано распоряжение вернуться в А. После этого легковой автомобиль продолжил двигаться с той же скоростью и прибыл в В одновременно с возвращением грузовика в А. Найдите скорость легкового автомобиля.

Пусть \(x\) — скорость легкового автомобиля, \(t\) — время от его старта до встречи.

До встречи:
\(x t = 40(t + 1)\)
\(x = \frac{40(t + 1)}{t}\)

После встречи оба прибыли одновременно:
\(t + 1 = \frac{300 — x t}{x}\)

Подставляем \(x\):
\(t + 1 = \frac{300 — 40(t + 1)}{40(t + 1)/t}\)
\(t + 1 = \frac{t(300 — 40(t + 1))}{40(t + 1)}\)
\(t + 1 = \frac{300t — 40t^{2} — 40t}{40(t + 1)}\)
\(40(t + 1)(t + 1) = 300t — 40t^{2} — 40t\)
\(40(t^{2} + 2t + 1) = 300t — 40t^{2} — 40t\)
\(40t^{2} + 80t + 40 = 300t — 40t^{2} — 40t\)
\(40t^{2} + 80t + 40 + 40t^{2} + 40t — 300t = 0\)
\(80t^{2} — 180t + 40 = 0\)
\(4t^{2} — 9t + 2 = 0\)

Дискриминант:
\(D = 9^{2} — 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 — 32 = 49\)

Корни:
\(t_{1} = \frac{9 — 7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\)
\(t_{2} = \frac{9 + 7}{8} = \frac{16}{8} = 2\)

\(x_{1} = \frac{40(\frac{1}{4} + 1)}{\frac{1}{4}} = \frac{40 \cdot \frac{5}{4}}{\frac{1}{4}} = 40 \cdot 5 = 200\)
\(x_{2} = \frac{40(2 + 1)}{2} = \frac{40 \cdot 3}{2} = 60\)

200 км/ч или 60 км/ч

1. Пусть \(x\) — скорость легкового автомобиля (км/ч), а \(t\) — время (часы) от его старта до встречи с грузовиком.

2. За время \(t\) легковой автомобиль проедет путь \(x t\), а грузовик за это время проедет \(40 (t + 1)\), потому что он стартовал на час раньше.

3. При встрече их пути равны: \(x t = 40(t + 1)\).

4. Выразим \(x\) через \(t\): \(x = \frac{40(t + 1)}{t}\).

5. После встречи грузовик возвращается в город \(A\), а легковой едет дальше в \(B\). Оба доезжают одновременно.

6. Грузовик должен проехать назад расстояние \(x t\) со скоростью 40 км/ч, на это ему потребуется \(\frac{x t}{40}\) часов.

7. Легковому автомобилю осталось до \(B\): \(300 — x t\), он едет со скоростью \(x\), значит, время в пути после встречи — \(\frac{300 — x t}{x}\).

8. Время от встречи до прибытия у обоих одинаковое: \(t + 1 = \frac{300 — x t}{x}\).

9. Подставим выражение для \(x\): \(t + 1 = \frac{300 — 40(t + 1)}{40(t + 1)/t}\).

10. Переведём в одну переменную: \(t + 1 = \frac{t(300 — 40(t + 1))}{40(t + 1)}\).

11. Раскроем скобки: \(t + 1 = \frac{300t — 40t^{2} — 40t}{40(t + 1)}\).

12. Перенесём всё в одну сторону: \(40(t + 1)(t + 1) = 300t — 40t^{2} — 40t\).

13. Раскроем скобки: \(40(t^{2} + 2t + 1) = 300t — 40t^{2} — 40t\).

14. Перенесём все слагаемые в одну сторону: \(40t^{2} + 80t + 40 + 40t^{2} + 40t — 300t = 0\).

15. Приведём подобные: \(80t^{2} — 180t + 40 = 0\).

16. Разделим на 20: \(4t^{2} — 9t + 2 = 0\).

17. Найдём дискриминант: \(D = 9^{2} — 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 — 32 = 49\).

18. Найдём корни:
\(t_{1} = \frac{9 — 7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\),
\(t_{2} = \frac{9 + 7}{8} = \frac{16}{8} = 2\).

19. Найдём скорость легкового автомобиля:
Для \(t_{1}\):
\(x_{1} = \frac{40(\frac{1}{4} + 1)}{\frac{1}{4}} = \frac{40 \cdot \frac{5}{4}}{\frac{1}{4}} = 40 \cdot 5 = 200\)
Для \(t_{2}\):
\(x_{2} = \frac{40(2 + 1)}{2} = \frac{40 \cdot 3}{2} = 60\)

200 км/ч или 60 км/ч