ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 145 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Одновременно из одного села в одном направлении выехали два велосипедиста: первый со скоростью 12 км/ч, а второй — 15 км/ч. Через 4 ч из этого села в том же направлении выехал автомобиль. Найдите скорость автомобиля, если известно, что он догнал второго велосипедиста через 20 мин после того, как догнал первого.

Пусть \(x\) — скорость автомобиля (км/ч), \(t\) — время (ч) от выезда автомобиля до встречи со вторым велосипедистом.
Составим систему:
\(tx = 12(t+4)\)
\(x\left(t+\frac{1}{3}\right) = 15\left(t+4+\frac{1}{3}\right)\)

Из первого уравнения:
\(tx = 12t + 48\)

Из второго:
\(x t + \frac{1}{3}x = 15t + 60 + 5\)
\(x t + \frac{1}{3}x = 15t + 65\)
\(tx = 12t + 48\), значит:
\(12t + 48 + \frac{1}{3}x = 15t + 65\)
\(\frac{1}{3}x = 3t + 17\)
\(x = 9t + 51\)

Подставим \(x\) в первое уравнение:
\(t(9t + 51) = 12t + 48\)
\(9t^2 + 51t = 12t + 48\)
\(9t^2 + 39t — 48 = 0\)
\(3t^2 + 13t — 16 = 0\)

\(D = 13^2 + 4 \cdot 3 \cdot 16 = 169 + 192 = 361\)
\(t_1 = \frac{-13 — 19}{6} = \frac{-32}{6} = -\frac{16}{3}\)
\(t_2 = \frac{-13 + 19}{6} = \frac{6}{6} = 1\)

Берём \(t = 1\):
\(x = 9 \cdot 1 + 51 = 60\)

\(60\) км/ч

1. Пусть \(x\) — скорость автомобиля (км/ч), \(t\) — время (часы) от момента его выезда до встречи со вторым велосипедистом.

2. Второй велосипедист ехал со скоростью \(12\) км/ч и выехал на \(4\) часа раньше, значит, к моменту встречи он проехал \(12(t+4)\) км, а автомобиль — \(x t\) км. При встрече пути равны:
\(x t = 12(t+4)\)

3. Первый велосипедист ехал со скоростью \(15\) км/ч и выехал также на \(4\) часа раньше. Автомобиль догнал его на \(20\) минут раньше, то есть на \(\frac{1}{3}\) часа раньше, чем второго.
Время от выезда автомобиля до встречи с первым велосипедистом — \(t + \frac{1}{3}\) часа.
Путь автомобиля: \(x\left(t+\frac{1}{3}\right)\)
Путь первого велосипедиста: \(15\left(t+4+\frac{1}{3}\right)\)
При встрече пути равны:
\(x\left(t+\frac{1}{3}\right) = 15\left(t+4+\frac{1}{3}\right)\)

4. Раскроем скобки и упростим второе уравнение:
\(x t + \frac{1}{3}x = 15 t + 60 + 5\)
\(x t + \frac{1}{3}x = 15 t + 65\)

5. Из первого уравнения выразим \(x t\):
\(x t = 12 t + 48\)

6. Подставим во второе уравнение:
\(12 t + 48 + \frac{1}{3}x = 15 t + 65\)
\(\frac{1}{3}x = 15 t + 65 — 12 t — 48\)
\(\frac{1}{3}x = 3 t + 17\)
\(x = 9 t + 51\)

7. Подставим значение \(x\) в первое уравнение:
\(t(9 t + 51) = 12 t + 48\)
\(9 t^2 + 51 t = 12 t + 48\)
\(9 t^2 + 39 t — 48 = 0\)

8. Разделим на \(3\):
\(3 t^2 + 13 t — 16 = 0\)

9. Найдём дискриминант:
\(D = 13^2 + 4 \cdot 3 \cdot 16 = 169 + 192 = 361\)

10. Найдём корни:
\(t_1 = \frac{-13-19}{6} = -\frac{32}{6} = -\frac{16}{3}\)
\(t_2 = \frac{-13+19}{6} = \frac{6}{6} = 1\)

11. Время не может быть отрицательным, значит \(t = 1\) час.

12. Найдём скорость автомобиля:
\(x = 9 \cdot 1 + 51 = 60\)

13. \(60\) км/ч