ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 153 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Вкладчик положил в банк 40 000 р. За первый год ему начислили деньги по установленной процентной ставке, а во второй год банковский процент был уменьшен на 6 %. В конце второго года на счёте оказалось 45 760 р. Сколько процентов составляла банковская ставка в первый год?

Пусть \(x\)% — процентная ставка в первый год, тогда во второй год ставка будет \((x — 6)\)%.

Сумма увеличится в первый год в \( \frac{100 + x}{100} \) раз, во второй год — в \( \frac{100 + x — 6}{100} = \frac{94 + x}{100} \) раз.

Итоговая сумма:
\( 45\,760 = 40\,000 \cdot \frac{100 + x}{100} \cdot \frac{94 + x}{100} \)

Упростим:
\( 45\,760 = 40\,000 \cdot \frac{(100 + x)(94 + x)}{10\,000} \)

\( 45\,760 = 4 \cdot (100 + x)(94 + x) \)

\( 11\,440 = (100 + x)(94 + x) \)

\( (100 + x)(94 + x) = 9\,400 + 100x + 94x + x^{2} = 9\,400 + 194x + x^{2} \)

\( 11\,440 = 9\,400 + 194x + x^{2} \)

\( x^{2} + 194x + 9\,400 — 11\,440 = 0 \)

\( x^{2} + 194x — 2\,040 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение:
\( D = 194^{2} + 4 \cdot 2\,040 = 37\,636 + 8\,160 = 45\,796 \)

\( x_{1} = \frac{-194 — 214}{2} = -204 \)
\( x_{2} = \frac{-194 + 214}{2} = 10 \)

Процентная ставка не может быть отрицательной, значит
\( x = 10 \)

Пусть в первый год процентная ставка по вкладу составляла \(x\)% годовых. Тогда во второй год ставка уменьшилась на 6 процентных пунктов, то есть стала равна \((x — 6)\)%. Чтобы определить, во сколько раз увеличивается вклад за каждый год, нужно к 100% добавить соответствующую процентную ставку и выразить это в виде коэффициента прироста. За первый год вклад увеличивается в \( \frac{100 + x}{100} \) раз, а за второй год — в \( \frac{94 + x}{100} \) раз, потому что \(100 + x — 6 = 94 + x\). Если изначально на счету было 40 000 рублей, то после двух лет сумма станет равной \(40\,000 \cdot \frac{100 + x}{100} \cdot \frac{94 + x}{100}\).

По условию задачи через два года на счёте оказалось 45 760 рублей. Значит, можно составить уравнение: \(45\,760 = 40\,000 \cdot \frac{100 + x}{100} \cdot \frac{94 + x}{100}\). Перемножим дроби: \( \frac{100 + x}{100} \cdot \frac{94 + x}{100} = \frac{(100 + x)(94 + x)}{10\,000} \), так как знаменатели перемножаются (\(100 \cdot 100 = 10\,000\)), а числители — как многочлен. Подставим это в уравнение: \(45\,760 = 40\,000 \cdot \frac{(100 + x)(94 + x)}{10\,000}\). Теперь разделим 40 000 на 10 000, получим 4, и упростим уравнение: \(45\,760 = 4 \cdot (100 + x)(94 + x)\). После этого обе части делим на 4, чтобы избавиться от множителя: \(11\,440 = (100 + x)(94 + x)\).

Раскроем скобки в произведении двух многочленов: \( (100 + x)(94 + x) = 100 \cdot 94 + 100x + 94x + x^{2} = 9\,400 + 100x + 94x + x^{2} = 9\,400 + 194x + x^{2} \). Подставим это в уравнение: \(11\,440 = 9\,400 + 194x + x^{2}\). Перенесём все слагаемые в одну сторону: \(x^{2} + 194x + 9\,400 — 11\,440 = 0\), упростим: \(x^{2} + 194x — 2\,040 = 0\). Это квадратное уравнение, где \(a = 1\), \(b = 194\), \(c = -2\,040\). Найдём дискриминант: \(D = 194^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (-2\,040) = 37\,636 + 8\,160 = 45\,796\). Корни уравнения: \(x_{1} = \frac{-194 — 214}{2} = -204\), \(x_{2} = \frac{-194 + 214}{2} = 10\).

Поскольку процентная ставка не может быть отрицательной, отрицательный корень не подходит. Следовательно, ставка в первый год составляла \(10\)% годовых.