ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 154 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Водно-солевой раствор содержал 4 кг соли. Через некоторое время 4 кг воды испарилось, вследствие чего концентрация соли в растворе увеличилась на 5 %. Какой была первоначальная масса раствора?

Пусть \(x\) — первоначальная масса раствора.

Содержание соли сначала: \(\frac{4}{x} \cdot 100\)

После испарения 4 кг воды: \(\frac{4}{x-4} \cdot 100\)

По условию: \(\frac{4}{x-4} \cdot 100 — \frac{4}{x} \cdot 100 = 5\)

\(\frac{400}{x-4} — \frac{400}{x} = 5\)

Домножим на \(x(x-4)\):

\(400x — 400(x-4) = 5x(x-4)\)

\(400x — 400x + 1600 = 5x^2 — 20x\)

\(1600 = 5x^2 — 20x\)

\(5x^2 — 20x — 1600 = 0\)

\(x^2 — 4x — 320 = 0\)

\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-320) = 16 + 1280 = 1296\)

\(x_1 = \frac{4 — 36}{2} = -16\), \(x_2 = \frac{4 + 36}{2} = 20\)

Ответ: \(20\,\text{кг}\)

1. Пусть \(x\) кг — масса исходного раствора.

2. Соли в растворе было 4 кг, значит начальная концентрация соли равна \(\frac{4}{x} \cdot 100\) процентов.

3. После испарения 4 кг воды масса раствора стала \(x-4\) кг, соли осталось столько же — 4 кг, концентрация соли теперь \(\frac{4}{x-4} \cdot 100\) процентов.

4. По условию концентрация соли увеличилась на 5 процентов:
\(\frac{4}{x-4} \cdot 100 — \frac{4}{x} \cdot 100 = 5\)

5. Преобразуем уравнение:
\(\frac{400}{x-4} — \frac{400}{x} = 5\)

6. Приведём к общему знаменателю и домножим на \(x(x-4)\):
\(400x — 400(x-4) = 5x(x-4)\)

7. Раскроем скобки:
\(400x — 400x + 1600 = 5x^2 — 20x\)

8. Переносим всё в одну сторону:
\(5x^2 — 20x — 1600 = 0\)

9. Разделим на 5:
\(x^2 — 4x — 320 = 0\)

10. Найдём дискриминант:
\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-320) = 16 + 1280 = 1296\)

11. Находим корни:
\(x_1 = \frac{4 — 36}{2} = -16\), \(x_2 = \frac{4 + 36}{2} = 20\)

12. Отрицательный корень не подходит, значит
\(x = 20\) кг