Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 165 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Рассматриваются шестизначные числа, в записи которых дважды присутствует цифра 1 и по одному разу каждая на цифр 6, 7, 8 и 9. Сколько существует таких чисел?
Рассмотрим все возможные варианты расположения цифр:
\(N_1 = 6\) — вариантов для цифры 6
\(N_2 = 6 — 1 = 5\) — вариантов для цифры 7
\(N_3 = 6 — 2 = 4\) — вариантов для цифры 8
\(N_4 = 6 — 3 = 3\) — вариантов для цифры 9
\(N_5 = \frac{6 — 4}{2} = 1\) — вариантов для двух цифр 1
Всего способов:
\(A = N_1 \cdot N_2 \cdot N_3 \cdot N_4 \cdot N_5 = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 1 = 360\)
360
В шестизначном числе должны быть ровно две одинаковые цифры — единицы, а остальные четыре цифры разные: 6, 7, 8 и 9. Сначала определим, на каких позициях будут стоять единицы. Всего позиций в числе шесть, и нам нужно выбрать две из них для единиц. Это задача на сочетания: количество способов выбрать две позиции из шести равно \(C_6^2\). Формула для сочетаний: \(C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\). Подставляем значения: \(C_6^2 = \frac{6!}{2! \cdot 4!}\). Вычисляем факториалы: \(6! = 720\), \(2! = 2\), \(4! = 24\). Получаем: \(C_6^2 = \frac{720}{2 \cdot 24} = \frac{720}{48} = 15\). Значит, способов выбрать места для двух единиц — 15.
После того как места для единиц заняты, на оставшихся четырёх позициях должны стоять цифры 6, 7, 8 и 9. Эти четыре цифры все разные и должны быть размещены по одному разу, то есть задача на размещение четырёх различных элементов на четыре места. Это можно сделать \(4!\) способами, где \(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\). То есть существует 24 способа расположить цифры 6, 7, 8 и 9 на оставшихся местах.
Чтобы получить общее количество подходящих шестизначных чисел, надо перемножить количество способов выбрать места для единиц и количество способов разместить остальные четыре цифры. То есть: \(15 \cdot 24 = 360\). Это и есть ответ задачи: всего существует 360 различных шестизначных чисел, в которых ровно две единицы и по одной цифре 6, 7, 8, 9.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.