Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 197 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Найдите первый член и разность арифметической прогрессии \( a_n \), если:
1) \( a_5 + a_{13} = 38 \) и \( a_4 + a_5 = 29 \);
2) \( a_4 + a_{10} = 16 \) и \( a_2 + a_{16} = -12 \).
\(a_5 + a_{13} = 38\)
\(a_4 + a_8 = 29\)
\(a_5 = a_1 + 4d\)
\(a_{13} = a_1 + 12d\)
\(a_4 = a_1 + 3d\)
\(a_8 = a_1 + 7d\)
\(a_5 + a_{13} = 38\)
\((a_1 + 4d) + (a_1 + 12d) = 38\)
\(2a_1 + 16d = 38\)
\(2a_1 = 38 — 16d\)
\(a_1 = 19 — 8d\)
\(a_4 + a_8 = 29\)
\((a_1 + 3d) + (a_1 + 7d) = 29\)
\(2a_1 + 10d = 29\)
\(2a_1 + 10d = 29\)
\(2(19 — 8d) + 10d = 29\)
\(38 — 16d + 10d = 29\)
\(38 — 6d = 29\)
\(9 = 6d\)
\(d = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1{,}5\)
\(a_1 = 19 — 8 \cdot 1{,}5 = 19 — 12 = 7\)
\(a_1 = 7, \quad d = 1{,}5\)
\(a_4 + a_{10} = 16\)
\(a_2 \cdot a_6 = -12\)
\(a_4 = a_1 + 3d\)
\(a_{10} = a_1 + 9d\)
\(a_2 = a_1 + d\)
\(a_6 = a_1 + 5d\)
\((a_1 + 3d) + (a_1 + 9d) = 16\)
\(2a_1 + 12d = 16\)
\(2a_1 = 16 — 12d\)
\(a_1 = 8 — 6d\)
\((a_1 + d)(a_1 + 5d) = -12\)
\((8 — 6d + d)(8 — 6d + 5d) = -12\)
\((8 — 5d)(8 — d) = -12\)
\(64 — 8d — 40d + 5d^2 = -12\)
\(5d^2 — 48d + 76 = 0\)
\(D = 48^2 — 4 \cdot 5 \cdot 76 = 2304 — 1520 = 784\)
\(d_1 = \frac{48 — 28}{10} = \frac{20}{10} = 2\)
\(d_2 = \frac{48 + 28}{10} = \frac{76}{10} = 7{,}6\)
\(a_1 = 8 — 6 \cdot 2 = 8 — 12 = -4\)
\(a_1 = 8 — 6 \cdot 7{,}6 = 8 — 45{,}6 = -37{,}6\)
\(a_1 = -4, \quad d = 2\)
\(a_1 = -37{,}6, \quad d = 7{,}6\)
1.
Пусть \(a_1\) — первый член прогрессии, \(d\) — разность.
Запишем формулы для нужных членов:
\(a_5 = a_1 + 4d\)
\(a_{13} = a_1 + 12d\)
\(a_4 = a_1 + 3d\)
\(a_8 = a_1 + 7d\)
Составим первое уравнение по условию:
\(a_5 + a_{13} = 38\)
\((a_1 + 4d) + (a_1 + 12d) = 38\)
\(2a_1 + 16d = 38\)
Второе уравнение:
\(a_4 + a_8 = 29\)
\((a_1 + 3d) + (a_1 + 7d) = 29\)
\(2a_1 + 10d = 29\)
Запишем систему:
\(2a_1 + 16d = 38\)
\(2a_1 + 10d = 29\)
Вычтем второе уравнение из первого:
\((2a_1 + 16d) — (2a_1 + 10d) = 38 — 29\)
\(6d = 9\)
\(d = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1{,}5\)
Найдём \(a_1\):
\(2a_1 + 10 \cdot 1{,}5 = 29\)
\(2a_1 + 15 = 29\)
\(2a_1 = 14\)
\(a_1 = 7\)
Ответ: \(a_1 = 7, \quad d = 1{,}5\)
2.
Пусть \(a_1\) — первый член прогрессии, \(d\) — разность.
Запишем формулы для нужных членов:
\(a_4 = a_1 + 3d\)
\(a_{10} = a_1 + 9d\)
\(a_2 = a_1 + d\)
\(a_6 = a_1 + 5d\)
Составим первое уравнение по условию:
\(a_4 + a_{10} = 16\)
\((a_1 + 3d) + (a_1 + 9d) = 16\)
\(2a_1 + 12d = 16\)
Второе уравнение:
\(a_2 \cdot a_6 = -12\)
\((a_1 + d)(a_1 + 5d) = -12\)
Выразим \(a_1\) из первого уравнения:
\(2a_1 + 12d = 16\)
\(2a_1 = 16 — 12d\)
\(a_1 = 8 — 6d\)
Подставим \(a_1\) во второе уравнение:
\((8 — 6d + d)(8 — 6d + 5d) = -12\)
\((8 — 5d)(8 — d) = -12\)
Раскроем скобки:
\(8 \cdot 8 — 8d — 5d \cdot 8 + 5d^2 = -12\)
\(64 — 8d — 40d + 5d^2 = -12\)
\(5d^2 — 48d + 64 + 12 = 0\)
\(5d^2 — 48d + 76 = 0\)
Решим квадратное уравнение:
\(d = \frac{48 \pm \sqrt{48^2 — 4 \cdot 5 \cdot 76}}{2 \cdot 5}\)
\(D = 48^2 — 4 \cdot 5 \cdot 76 = 2304 — 1520 = 784\)
\(\sqrt{784} = 28\)
\(d_1 = \frac{48 — 28}{10} = \frac{20}{10} = 2\)
\(d_2 = \frac{48 + 28}{10} = \frac{76}{10} = 7{,}6\)
Найдём \(a_1\):
Для \(d = 2\):
\(a_1 = 8 — 6 \cdot 2 = 8 — 12 = -4\)
Для \(d = 7{,}6\):
\(a_1 = 8 — 6 \cdot 7{,}6 = 8 — 45{,}6 = -37{,}6\)
Ответ: \(a_1 = -4, \quad d = 2\)
\(a_1 = -37{,}6, \quad d = 7{,}6\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.