ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 198 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Является ли арифметической прогрессией последовательность \( a_n \), заданная формулой n-го члена:

1) \( a_n = 7 — 3n \);

2) \( a_n = 2n^2 + 1 \);

3) \( a_n = 0,87n \);

4) \( a_n = 0,64n^2 + 23 \);

5) \( a_n = \frac{n-1}{n+1} \);

6) \( b_{27} \).

В случае утвердительного ответа укажите первый член и разность прогрессии.

1) \( a_n = 7 — 3n \)
\( a_{n+1} = 7 — 3(n + 1) = 4 — 3n \)
\( d = a_{n+1} — a_n = (4 — 3n) — (7 — 3n) = -3 \)
\( a_1 = 7 — 3 \cdot 1 = 4 \)
является; \( a_1 = 4 \); \( d = -3 \)

2) \( a_n = 2n^2 + 1 \)
\( a_{n+1} = 2(n + 1)^2 + 1 = 2n^2 + 4n + 3 \)
\( d = a_{n+1} — a_n = (2n^2 + 4n + 3) — (2n^2 + 1) = 4n + 2 \)
не является.

3) \( a_n = 0{,}87n \)
\( a_{n+1} = 0{,}87(n + 1) = 0{,}87n + 0{,}87 \)
\( d = a_{n+1} — a_n = (0{,}87n + 0{,}87) — 0{,}87n = 0{,}87 \)
\( a_1 = 0{,}87 \cdot 1 = 0{,}87 \)
является; \( a_1 = 0{,}87 \); \( d = 0{,}87 \)

4) \( a_n = 0{,}64n + 23 \)
\( a_{n+1} = 0{,}64(n + 1) + 23 = 0{,}64n + 0{,}64 + 23 = 0{,}64n + 23{,}64 \)
\( d = a_{n+1} — a_n = (0{,}64n + 23{,}64) — (0{,}64n + 23) = 0{,}64 \)
\( a_1 = 0{,}64 \cdot 1 + 23 = 23{,}64 \)
является; \( a_1 = 23{,}64 \); \( d = 0{,}64 \)

5) \( a_n = \frac{n-1}{n+1} \)
\( a_{n+1} = \frac{n}{n+2} \)
\( d = a_{n+1} — a_n = \frac{n}{n+2} — \frac{n-1}{n+1} = \frac{(n^2 + n) — (n^2 + n — 2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{2}{n^2 + 3n + 2} \)
не является.

6) \( b_{27} \)
не имеет смысла.

1) Рассмотрим последовательность \( a_n = 7 — 3n \). Найдём следующий член: \( a_{n+1} = 7 — 3(n + 1) = 7 — 3n — 3 = 4 — 3n \). Найдём разность: \( d = a_{n+1} — a_n = (4 — 3n) — (7 — 3n) = 4 — 3n — 7 + 3n = -3 \). Разность постоянная, значит, это арифметическая прогрессия. Первый член: \( a_1 = 7 — 3 \cdot 1 = 4 \).

является; \( a_1 = 4 \); \( d = -3 \)

2) Последовательность \( a_n = 2n^2 + 1 \). Следующий член: \( a_{n+1} = 2(n + 1)^2 + 1 = 2(n^2 + 2n + 1) + 1 = 2n^2 + 4n + 2 + 1 = 2n^2 + 4n + 3 \). Разность: \( d = a_{n+1} — a_n = (2n^2 + 4n + 3) — (2n^2 + 1) = 4n + 2 \). Разность зависит от \( n \), это не арифметическая прогрессия.

не является.

3) Последовательность \( a_n = 0{,}87n \). Следующий член: \( a_{n+1} = 0{,}87(n + 1) = 0{,}87n + 0{,}87 \). Разность: \( d = a_{n+1} — a_n = (0{,}87n + 0{,}87) — 0{,}87n = 0{,}87 \). Разность постоянная, значит, это арифметическая прогрессия. Первый член: \( a_1 = 0{,}87 \cdot 1 = 0{,}87 \).

является; \( a_1 = 0{,}87 \); \( d = 0{,}87 \)

4) Последовательность \( a_n = 0{,}64n + 23 \). Следующий член: \( a_{n+1} = 0{,}64(n + 1) + 23 = 0{,}64n + 0{,}64 + 23 = 0{,}64n + 23{,}64 \). Разность: \( d = a_{n+1} — a_n = (0{,}64n + 23{,}64) — (0{,}64n + 23) = 0{,}64 \). Разность постоянная, значит, это арифметическая прогрессия. Первый член: \( a_1 = 0{,}64 \cdot 1 + 23 = 23{,}64 \).

является; \( a_1 = 23{,}64 \); \( d = 0{,}64 \)

5) Последовательность \( a_n = \frac{n-1}{n+1} \). Следующий член: \( a_{n+1} = \frac{n}{n+2} \). Найдём разность: \( d = a_{n+1} — a_n = \frac{n}{n+2} — \frac{n-1}{n+1} \). Приведём к общему знаменателю: \( d = \frac{n(n+1) — (n-1)(n+2)}{(n+2)(n+1)} \). Раскроем скобки: \( n(n+1) = n^2 + n \), \( (n-1)(n+2) = n^2 + 2n — n — 2 = n^2 + n — 2 \). Подставим: \( d = \frac{n^2 + n — (n^2 + n — 2)}{(n+2)(n+1)} = \frac{2}{n^2 + 3n + 2} \). Разность зависит от \( n \), это не арифметическая прогрессия.

не является.

6) \( b_{27} \) — формулы нет, смысла нет.

не имеет смысла.