ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 200 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каком значении a значения выражений \( a^2 — 4a \), \( 2a — 5 \) и \( a — 4 \) будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Если \(a = 1\):

\(b_1 = 1^{2} — 4 \cdot 1 = 1 — 4 = -3\)

\(b_2 = 2 \cdot 1 — 5 = 2 — 5 = -3\)

\(b_3 = 1 — 4 = -3\)

Если \(a = 6\):

\(b_1 = 6^{2} — 4 \cdot 6 = 36 — 24 = 12\)

\(b_2 = 2 \cdot 6 — 5 = 12 — 5 = 7\)

\(b_3 = 6 — 4 = 2\)

1. Пусть три последовательных члена арифметической прогрессии: \(b_1 = a^{2} — 4a\), \(b_2 = 2a — 5\), \(b_3 = a — 4\).

2. В арифметической прогрессии средний член равен полусумме двух соседних: \(b_2 = \frac{b_1 + b_3}{2}\).

3. Подставим выражения: \(2a — 5 = \frac{a^{2} — 4a + a — 4}{2}\).

4. Умножим обе части на 2: \(4a — 10 = a^{2} — 3a — 4\).

5. Перенесём всё в одну сторону: \(4a — 10 — a^{2} + 3a + 4 = 0\).

6. Преобразуем: \(-a^{2} + 7a — 6 = 0\), или \(a^{2} — 7a + 6 = 0\).

7. Решим квадратное уравнение: \(a^{2} — 7a + 6 = 0\).

8. Найдём дискриминант: \(D = 49 — 24 = 25\).

9. Найдём корни: \(a_1 = \frac{7 — 5}{2} = 1\), \(a_2 = \frac{7 + 5}{2} = 6\).

10. Если \(a = 1\): \(b_1 = 1^{2} — 4 \cdot 1 = 1 — 4 = -3\), \(b_2 = 2 \cdot 1 — 5 = 2 — 5 = -3\), \(b_3 = 1 — 4 = -3\).

11. Если \(a = 6\): \(b_1 = 6^{2} — 4 \cdot 6 = 36 — 24 = 12\), \(b_2 = 2 \cdot 6 — 5 = 12 — 5 = 7\), \(b_3 = 6 — 4 = 2\).