ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 201 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каком значении b значения выражений \( 3b + 1 \), \( 4b — 1 \), \( 6b^2 + b \) и \( b + b + 1 \) будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть члены прогрессии: \(3b + 1\), \(4b — 1\), \(b^{2} + b\), \(b^{2} + b + 1\).

По свойству арифметической прогрессии:

\(4b — 1 = \frac{(3b + 1) + (b^{2} + b)}{2}\)

\(2(4b — 1) = 3b + 1 + b^{2} + b\)

\(8b — 2 = b^{2} + 4b + 1\)

\(8b — 2 — 4b — 1 = b^{2}\)

\(4b — 3 = b^{2}\)

\(b^{2} — 4b + 3 = 0\)

\(b_{1} = 1\), \(b_{2} = 3\)

Проверим второй промежуток:

\(b^{2} + b = \frac{(4b — 1) + (b^{2} + b + 1)}{2}\)

\(2(b^{2} + b) = 4b — 1 + b^{2} + b + 1\)

\(2b^{2} + 2b = b^{2} + 5b\)

\(b^{2} — 3b = 0\)

\(b_{1} = 0\), \(b_{2} = 3\)

Берём \(b = 3\):

\(a_{1} = 3 \times 3 + 1 = 10\)

\(a_{2} = 4 \times 3 — 1 = 11\)

\(a_{3} = 3^{2} + 3 = 12\)

\(a_{4} = 3^{2} + 3 + 1 = 13\)

Ответ: 10; 11; 12; 13; \(b = 3\)

Пусть четыре числа арифметической прогрессии заданы так: первый член \(a_{1} = 3b + 1\), второй член \(a_{2} = 4b — 1\), третий член \(a_{3} = b^{2} + b\), четвертый член \(a_{4} = b^{2} + b + 1\). Арифметическая прогрессия — это последовательность, у которой разность между любыми двумя соседними членами одинакова. То есть \(a_{2} — a_{1} = a_{3} — a_{2} = a_{4} — a_{3}\). Найдём каждую из этих разностей:

Первая разность: \(a_{2} — a_{1} = (4b — 1) — (3b + 1) = 4b — 1 — 3b — 1 = b — 2\).

Вторая разность: \(a_{3} — a_{2} = (b^{2} + b) — (4b — 1) = b^{2} + b — 4b + 1 = b^{2} — 3b + 1\).

Третья разность: \(a_{4} — a_{3} = (b^{2} + b + 1) — (b^{2} + b) = 1\).

Чтобы все члены образовывали арифметическую прогрессию, необходимо чтобы все разности были равны: \(b — 2 = b^{2} — 3b + 1 = 1\). Сначала приравняем первую и вторую разность: \(b — 2 = b^{2} — 3b + 1\). Переносим всё в одну сторону: \(b — 2 — b^{2} + 3b — 1 = 0\), упрощаем: \(-b^{2} + 4b — 3 = 0\), или \(b^{2} — 4b + 3 = 0\). Это квадратное уравнение, которое можно решить через дискриминант: \(D = (-4)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4\). Корни: \(b = \frac{4 \pm 2}{2}\), то есть \(b_{1} = 1\), \(b_{2} = 3\).

Теперь приравняем вторую и третью разность: \(b^{2} — 3b + 1 = 1\). Переносим единицу: \(b^{2} — 3b = 0\). Вынесем \(b\) за скобку: \(b(b — 3) = 0\). Отсюда \(b_{1} = 0\), \(b_{2} = 3\). Теперь найдём такой \(b\), который подходит для обеих систем: это \(b = 3\).

Подставим значение \(b = 3\) в исходные выражения для членов прогрессии: \(a_{1} = 3 \times 3 + 1 = 9 + 1 = 10\), \(a_{2} = 4 \times 3 — 1 = 12 — 1 = 11\), \(a_{3} = 3^{2} + 3 = 9 + 3 = 12\), \(a_{4} = 3^{2} + 3 + 1 = 9 + 3 + 1 = 13\). Проверим разности: \(a_{2} — a_{1} = 1\), \(a_{3} — a_{2} = 1\), \(a_{4} — a_{3} = 1\). Все разности равны, значит, найденные значения правильные.

Ответ: 10; 11; 12; 13; \(b = 3\)