ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 204 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Арифметическая прогрессия \( a_n \) задана формулой n-го члена \( a_n = -2n + 1 \). Найдите сумму тридцати восьми первых членов прогрессии.

Арифметическая прогрессия: \(a_n = -2n + 1\)

\(a_1 = -2 \cdot 1 + 1 = -2 + 1 = -1\)

\(a_{38} = -2 \cdot 38 + 1 = -76 + 1 = -75\)

\(S_{38} = \frac{a_1 + a_{38}}{2} \cdot 38 = \frac{-1 + (-75)}{2} \cdot 38 = \frac{-76}{2} \cdot 38 = -38 \cdot 38 = -1444\)

Ответ: \(-1444\)

В арифметической прогрессии каждый следующий член получается прибавлением к предыдущему одного и того же числа, которое называется разностью прогрессии. Формула для n-го члена прогрессии имеет вид \(a_n = a_1 + (n-1)d\), где \(a_1\) — первый член, \(d\) — разность. В данном случае формула задана как \(a_n = -2n + 1\). Чтобы привести её к стандартному виду, найдём первый член: \(a_1 = -2 \cdot 1 + 1 = -2 + 1 = -1\). Теперь вычислим разность прогрессии: \(d = a_2 — a_1 = (-2 \cdot 2 + 1) — (-1) = (-4 + 1) — (-1) = -3 + 1 = -2\). Значит, разность равна \(-2\).

Найдем 38-й член прогрессии по формуле: \(a_{38} = -2 \cdot 38 + 1 = -76 + 1 = -75\). Проверим это через стандартную формулу: \(a_{38} = a_1 + (38-1)d = -1 + 37 \cdot (-2) = -1 — 74 = -75\). Значение совпадает, значит, все вычисления верны. Теперь запишем формулу для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n\). В нашем случае \(n = 38\), первый член \(-1\), тридцать восьмой \(-75\).

Подставляем значения: \(S_{38} = \frac{-1 + (-75)}{2} \cdot 38\). Складываем: \(-1 + (-75) = -76\), получаем \(S_{38} = \frac{-76}{2} \cdot 38\). Делим: \(\frac{-76}{2} = -38\). Получаем \(S_{38} = -38 \cdot 38\). Умножаем: \(-38 \cdot 38 = -1444\). Таким образом, сумма первых 38 членов арифметической прогрессии равна \(-1444\).

Ответ: \(-1444\).