Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 209 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 7,4; 7; 6,6; … .
1. Первый член прогрессии: \(a_1 = 7{,}4\).
2. Второй член: \(a_2 = 7\).
3. Находим разность: \(d = a_2 — a_1 = 7 — 7{,}4 = -0{,}4\).
4. Формула n-го члена: \(a_n = a_1 + d(n-1)\).
5. Подставляем значения: \(a_n = 7{,}4 + (-0{,}4)(n-1) = 7{,}4 — 0{,}4n + 0{,}4 = 7{,}8 — 0{,}4n\).
6. Найдём номер последнего положительного члена: \(a_n > 0\), то есть \(7{,}8 — 0{,}4n > 0\).
7. Решаем неравенство: \(7{,}8 > 0{,}4n\), откуда \(n < \frac{7{,}8}{0{,}4} = 19{,}5\).
8. Так как \(n\) — натуральное число, берём \(n = 19\).
9. Находим сумму первых 19 членов: \(S_{19} = 19 \cdot \frac{a_1 + a_{19}}{2}\).
10. \(a_{19} = 7{,}8 — 0{,}4 \cdot 19 = 7{,}8 — 7{,}6 = 0{,}2\).
11. \(S_{19} = 19 \cdot \frac{7{,}4 + 0{,}2}{2} = 19 \cdot \frac{7{,}6}{2} = 19 \cdot 3{,}8 = 72{,}2\).
Рассмотрим последовательность: \(7{,}4;\ 7;\ 6{,}6;\ \ldots\). Это арифметическая прогрессия, потому что разность между соседними членами постоянна. Первый член прогрессии обозначим как \(a_1 = 7{,}4\). Второй член, \(a_2 = 7\), третий член, \(a_3 = 6{,}6\). Чтобы убедиться, что это действительно арифметическая прогрессия, найдем разность между любыми двумя соседними членами: \(a_2 — a_1 = 7 — 7{,}4 = -0{,}4\), а также \(a_3 — a_2 = 6{,}6 — 7 = -0{,}4\). Это подтверждает, что разность \(d\) одинакова для всех членов и равна \(d = -0{,}4\).
Запишем формулу n-го члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + d(n-1)\). Подставим известные значения: \(a_n = 7{,}4 + (-0{,}4)(n-1)\). Раскроем скобки: \(a_n = 7{,}4 — 0{,}4n + 0{,}4\). Приведем подобные слагаемые: \(a_n = 7{,}8 — 0{,}4n\). Теперь определим, при каких значениях \(n\) члены прогрессии будут положительными. Для этого решим неравенство: \(a_n > 0\), то есть \(7{,}8 — 0{,}4n > 0\). Переносим все в одну сторону: \(7{,}8 > 0{,}4n\). Разделим обе части на \(0{,}4\): \(n < \frac{7{,}8}{0{,}4}\). Посчитаем значение дроби: \(n < 19{,}5\). Поскольку \(n\) должно быть натуральным числом, максимальное целое значение \(n\) — это \(19\).
Теперь рассчитаем сумму первых 19 членов этой прогрессии. Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \(S_n = n \cdot \frac{a_1 + a_n}{2}\). Найдём 19-й член: \(a_{19} = 7{,}8 — 0{,}4 \cdot 19 = 7{,}8 — 7{,}6 = 0{,}2\). Подставляем все найденные значения в формулу суммы: \(S_{19} = 19 \cdot \frac{7{,}4 + 0{,}2}{2}\). Складываем: \(7{,}4 + 0{,}2 = 7{,}6\). Делим на два: \(\frac{7{,}6}{2} = 3{,}8\). Умножаем на 19: \(19 \cdot 3{,}8 = 72{,}2\).
Таким образом, если подробно расписать решение, то мы сначала определили параметры прогрессии: первый член и разность. Затем вывели формулу общего члена и нашли, сколько членов будут положительными. После этого применили формулу суммы для найденного количества членов, аккуратно подставили все значения и получили окончательный результат: сумма положительных членов данной прогрессии равна \(72{,}2\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.