ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 218 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если сумма шести первых её членов равна \(-51\), а сумма четырнадцати первых членов равна \(49\).

Дано: \(S_6 = -51\), \(S_{14} = 49\).

\(S_6 = \frac{2a_1 + d \cdot (6-1)}{2} \cdot 6 = -51\)

\(S_6 = \frac{2a_1 + 5d}{2} \cdot 6 = -51\)

\(2a_1 + 5d = -17\)

\(S_{14} = \frac{2a_1 + d \cdot (14-1)}{2} \cdot 14 = 49\)

\(S_{14} = \frac{2a_1 + 13d}{2} \cdot 14 = 49\)

\(2a_1 + 13d = 7\)

\(2a_1 + 13d — (2a_1 + 5d) = 7 — (-17)\)

\(8d = 24\)

\(d = 3\)

\(2a_1 + 5 \cdot 3 = -17\)

\(2a_1 + 15 = -17\)

\(2a_1 = -32\)

\(a_1 = \frac{-32}{2} = -16\)

\(a_1 = -16\), \(d = 3\)

1. По формуле суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\)

2. Подставим значения для \(S_6\):
\(S_6 = \frac{2a_1 + d \cdot (6-1)}{2} \cdot 6 = -51\)
\(S_6 = \frac{2a_1 + 5d}{2} \cdot 6 = -51\)
\(3 \cdot (2a_1 + 5d) = -51\)
\(2a_1 + 5d = -17\)

3. Подставим значения для \(S_{14}\):
\(S_{14} = \frac{2a_1 + d \cdot (14-1)}{2} \cdot 14 = 49\)
\(S_{14} = \frac{2a_1 + 13d}{2} \cdot 14 = 49\)
\(7 \cdot (2a_1 + 13d) = 49\)
\(2a_1 + 13d = 7\)

4. Получили систему:
\(2a_1 + 5d = -17\)
\(2a_1 + 13d = 7\)

5. Вычтем первое уравнение из второго:
\((2a_1 + 13d) — (2a_1 + 5d) = 7 — (-17)\)
\(2a_1 + 13d — 2a_1 — 5d = 7 + 17\)
\(8d = 24\)
\(d = \frac{24}{8} = 3\)

6. Найдём \(a_1\), подставив \(d = 3\) в первое уравнение:
\(2a_1 + 5 \cdot 3 = -17\)
\(2a_1 + 15 = -17\)
\(2a_1 = -17 — 15\)
\(2a_1 = -32\)
\(a_1 = \frac{-32}{2} = -16\)

7. Ответ:
\(a_1 = -16\), \(d = 3\)