ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 219 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(11 + 17 + 23 + \ldots + (6n + 5) = 528\), где \(n\) — натуральное число;

2) \(2 + 5 + 8 + \ldots + x = 126\), где \(x\) — натуральное число.

\(n = 12\)

\(x = 26\)

1) Первый член прогрессии \(11\), второй член \(17\), разность \(6\). Формула n-го члена: \(a_n = 11 + 6(n-1)\). Сумма n членов: \(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\).

Запишем \(a_n = 11 + 6(n-1) = 6n + 5\).

Сумма равна \(528\):

\(\frac{(11 + (6n + 5)) \cdot n}{2} = 528\)

\(\frac{(6n + 16) \cdot n}{2} = 528\)

\((6n + 16) \cdot n = 1056\)

\(6n^2 + 16n = 1056\)

\(6n^2 + 16n — 1056 = 0\)

Разделим на \(2\):

\(3n^2 + 8n — 528 = 0\)

Находим дискриминант: \(D = 8^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-528) = 64 + 6336 = 6400\)

\(n = \frac{-8 \pm 80}{6}\)

\(n_1 = \frac{72}{6} = 12\)

\(n_2 = \frac{-88}{6}\) (отрицательное не подходит)

Ответ: \(n = 12\)

2) Первый член \(2\), второй член \(5\), разность \(3\). Формула n-го члена: \(a_n = 2 + 3(n-1)\). Сумма: \(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\).

Запишем \(a_n = 2 + 3(n-1) = 3n — 1\).

Сумма равна \(126\):

\(\frac{(2 + (3n — 1)) \cdot n}{2} = 126\)

\(\frac{(3n + 1) \cdot n}{2} = 126\)

\((3n + 1) \cdot n = 252\)

\(3n^2 + n — 252 = 0\)

Находим дискриминант: \(D = 1^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-252) = 1 + 3024 = 3025\)

\(n = \frac{-1 \pm 55}{6}\)

\(n_1 = \frac{54}{6} = 9\)

\(n_2 = \frac{-56}{6}\) (отрицательное не подходит)

Последний член: \(x = 2 + 3 \cdot (9-1) = 2 + 24 = 26\)

Ответ: \(x = 26\)