Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 227 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии \((b_n)\), если:
1) \(b_1 = 25b_5\) и \(b_2 + b_4 = -520\);
2) \(b_5 — b_2 = -54\) и \(b_3 + b_4 + b_5 = -36\).
\(b_1 = 4,\; q = -5\)
\(b_1 = -4,\; q = 5\)
\(b_1 = -3,\; q = -2\)
1. Пусть геометрическая прогрессия: \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\).
Дано: \(b_8 = 25b_6\), \(b_2 + b_4 = -520\).
Запишем формулы: \(b_8 = b_1 \cdot q^7\), \(b_6 = b_1 \cdot q^5\), \(b_2 = b_1 \cdot q\), \(b_4 = b_1 \cdot q^3\).
Первое уравнение: \(b_1 \cdot q^7 = 25b_1 \cdot q^5\).
Сократим на \(b_1\), если \(b_1 \neq 0\): \(q^7 = 25q^5\), разделим на \(q^5\) (\(q \neq 0\)): \(q^2 = 25\), значит \(q = 5\) или \(q = -5\).
Второе уравнение: \(b_1 \cdot q + b_1 \cdot q^3 = -520\), вынесем \(b_1\): \(b_1(q + q^3) = -520\).
Если \(q = 5\), то \(q + q^3 = 5 + 125 = 130\), тогда \(b_1 = \frac{-520}{130} = -4\).
Если \(q = -5\), то \(q + q^3 = -5 + (-125) = -130\), тогда \(b_1 = \frac{-520}{-130} = 4\).
Ответ: \(b_1 = 4,\; q = -5\); \(b_1 = -4,\; q = 5\).
2. Пусть геометрическая прогрессия: \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\).
Дано: \(b_5 — b_2 = -54\), \(b_3 + b_4 + b_5 = -36\).
Запишем формулы: \(b_5 = b_1 \cdot q^4\), \(b_2 = b_1 \cdot q\), \(b_3 = b_1 \cdot q^2\), \(b_4 = b_1 \cdot q^3\).
Первое уравнение: \(b_1 \cdot q^4 — b_1 \cdot q = -54\), вынесем \(b_1\): \(b_1(q^4 — q) = -54\), значит \(b_1 = \frac{-54}{q^4 — q}\).
Второе уравнение: \(b_1(q^2 + q^3 + q^4) = -36\), значит \(b_1 = \frac{-36}{q^2 + q^3 + q^4}\).
Приравняем выражения для \(b_1\): \(\frac{-54}{q^4 — q} = \frac{-36}{q^2 + q^3 + q^4}\).
Упростим: \(\frac{54}{q^4 — q} = \frac{36}{q^2 + q^3 + q^4}\).
Перемножим крест-накрест: \(54(q^2 + q^3 + q^4) = 36(q^4 — q)\).
Разделим обе части на 18: \(3(q^2 + q^3 + q^4) = 2(q^4 — q)\).
Раскроем скобки: \(3q^2 + 3q^3 + 3q^4 = 2q^4 — 2q\).
Перенесём всё в одну сторону: \(3q^2 + 3q^3 + 3q^4 — 2q^4 + 2q = 0\).
Сгруппируем: \(3q^2 + 3q^3 + q^4 + 2q = 0\).
Вынесем \(q\): \(q(q^3 + 3q^2 + 3q + 2) = 0\).
Рассмотрим \(q \neq 0\), решим кубическое уравнение: \(q^3 + 3q^2 + 3q + 2 = 0\).
Подставим \(q = -2\): \((-2)^3 + 3(-2)^2 + 3(-2) + 2 = -8 + 12 — 6 + 2 = 0\).
Значит, \(q = -2\).
Найдём \(b_1\): \(b_1 = \frac{-54}{(-2)^4 — (-2)} = \frac{-54}{16 + 2} = \frac{-54}{18} = -3\).
Ответ: \(b_1 = -3,\; q = -2\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.