ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 230 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна \(15\). Если к этим числам прибавить соответственно \(1, 1\) и \(4\), то образуется геометрическая прогрессия. Найдите данные числа.

Пусть числа арифметической прогрессии: \(a_1\), \(a_2 = a_1 + d\), \(a_3 = a_1 + 2d\).
По условию: \(a_1 + a_2 + a_3 = 15\).
\(a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 15\)
\(3a_1 + 3d = 15\)
\(a_1 + d = 5\)
\(a_1 = 5 — d\), \(a_2 = 5\), \(a_3 = 5 + d\).
Прибавим: \(b_1 = a_1 + 1 = 6 — d\), \(b_2 = a_2 + 1 = 6\), \(b_3 = a_3 + 4 = 9 + d\).
Эти числа — геометрическая прогрессия:
\(\frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2}\)
\(\frac{6}{6 — d} = \frac{9 + d}{6}\)
\(6 \cdot 6 = (6 — d)(9 + d)\)
\(36 = 54 + 6d — 9d — d^2\)
\(36 = 54 — 3d — d^2\)
\(d^2 + 3d — 18 = 0\)
\(d = \frac{-3 \pm 9}{2}\)
\(d_1 = 3\), \(d_2 = -6\)
Если \(d = 3\): \(a_1 = 2\), \(a_2 = 5\), \(a_3 = 8\)
Если \(d = -6\): \(a_1 = 11\), \(a_2 = 5\), \(a_3 = -1\)
Ответ: \(2,\,5,\,8\)

1. Пусть три числа арифметической прогрессии: \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\). Тогда \(a_2 = a_1 + d\), \(a_3 = a_1 + 2d\), где \(d\) — разность прогрессии.

2. По условию задачи, их сумма равна 15:
\(a_1 + a_2 + a_3 = 15\).

3. Подставим выражения для \(a_2\) и \(a_3\):
\(a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 15\).

4. Раскроем скобки и упростим:
\(a_1 + a_1 + d + a_1 + 2d = 15\),
\(3a_1 + 3d = 15\).

5. Разделим обе части на 3:
\(a_1 + d = 5\).

6. Выразим все три числа через \(d\):
\(a_1 = 5 — d\),
\(a_2 = 5\),
\(a_3 = 5 + d\).

7. К этим числам прибавляют соответственно 1, 1, 4:
\(b_1 = a_1 + 1 = (5 — d) + 1 = 6 — d\),
\(b_2 = a_2 + 1 = 5 + 1 = 6\),
\(b_3 = a_3 + 4 = (5 + d) + 4 = 9 + d\).

8. Полученные числа \(b_1\), \(b_2\), \(b_3\) образуют геометрическую прогрессию, значит
\(\frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2}\).

9. Подставим значения:
\(\frac{6}{6 — d} = \frac{9 + d}{6}\).

10. Решим уравнение:
\(6 \cdot 6 = (6 — d)(9 + d)\),
\(36 = 54 + 6d — 9d — d^2\),
\(36 = 54 — 3d — d^2\),
\(d^2 + 3d — 18 = 0\).

11. Найдём корни квадратного уравнения:
\(d = \frac{-3 \pm 9}{2}\),
\(d_1 = 3\),
\(d_2 = -6\).

12. Подставим значения \(d\) и найдём сами числа:

Если \(d = 3\):
\(a_1 = 5 — 3 = 2\),
\(a_2 = 5\),
\(a_3 = 5 + 3 = 8\).

Если \(d = -6\):
\(a_1 = 5 — (-6) = 11\),
\(a_2 = 5\),
\(a_3 = 5 + (-6) = -1\).

13. Ответ: \(2,\,5,\,8\).