ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 237 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Разность четвёртого и второго членов геометрической прогрессии равна \(30\), а разность четвёртого и третьего членов равна \(24\). Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

Дано: \(b_4 — b_2 = 30\), \(b_4 — b_3 = 24\)
\(b_4 = b_1 \cdot q^3\), \(b_2 = b_1 \cdot q\), \(b_3 = b_1 \cdot q^2\)
\(b_1(q^3 — q) = 30\)
\(b_1(q^3 — q^2) = 24\)
\(\frac{30}{q^3 — q} = \frac{24}{q^3 — q^2}\)
\(30(q^3 — q^2) = 24(q^3 — q)\)
\(30q^3 — 30q^2 = 24q^3 — 24q\)
\(6q^3 — 30q^2 + 24q = 0\)
\(q^3 — 5q^2 + 4q = 0\)
\(q(q^2 — 5q + 4) = 0\)
\(q^2 — 5q + 4 = 0\)
\(D = 25 — 16 = 9\)
\(q_1 = \frac{5-3}{2} = 1\), \(q_2 = \frac{5+3}{2} = 4\)
\(q = 4\)
\(b_1 = \frac{30}{4^3 — 4} = \frac{30}{64 — 4} = \frac{30}{60} = 0{,}5\)
\(S_5 = b_1 \cdot \frac{q^5 — 1}{q — 1} = 0{,}5 \cdot \frac{4^5 — 1}{4 — 1} = 0{,}5 \cdot \frac{1024 — 1}{3} = 0{,}5 \cdot \frac{1023}{3} = 0{,}5 \cdot 341 = 170{,}5\)

1. Пусть геометрическая прогрессия: \(b_1, b_2, b_3, b_4, \ldots\), где \(b_2 = b_1 \cdot q\), \(b_3 = b_1 \cdot q^2\), \(b_4 = b_1 \cdot q^3\).

2. По условию: \(b_4 — b_2 = 30\), значит \(b_1 \cdot q^3 — b_1 \cdot q = 30\). Вынесем \(b_1\) за скобку: \(b_1(q^3 — q) = 30\).

3. Также по условию: \(b_4 — b_3 = 24\), значит \(b_1 \cdot q^3 — b_1 \cdot q^2 = 24\). Вынесем \(b_1\) за скобку: \(b_1(q^3 — q^2) = 24\).

4. Получили систему: \(b_1(q^3 — q) = 30\) и \(b_1(q^3 — q^2) = 24\).

5. Выразим \(b_1\) из первого и второго уравнения: \(b_1 = \frac{30}{q^3 — q}\), \(b_1 = \frac{24}{q^3 — q^2}\).

6. Приравняем правые части: \(\frac{30}{q^3 — q} = \frac{24}{q^3 — q^2}\).

7. Перемножим крест-накрест: \(30(q^3 — q^2) = 24(q^3 — q)\).

8. Раскроем скобки: \(30q^3 — 30q^2 = 24q^3 — 24q\).

9. Переносим всё в одну сторону: \(30q^3 — 30q^2 — 24q^3 + 24q = 0\).

10. Преобразуем: \(6q^3 — 30q^2 + 24q = 0\).

11. Вынесем \(6q\) за скобку: \(6q(q^2 — 5q + 4) = 0\).

12. Разделим обе части на 6: \(q(q^2 — 5q + 4) = 0\).

13. Корни: \(q = 0\) (не подходит) и решаем квадратное уравнение \(q^2 — 5q + 4 = 0\).

14. Найдём дискриминант: \(D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9\).

15. Корни: \(q_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1\), \(q_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4\).

16. \(q = 1\) не подходит, так как тогда разности равны нулю. Значит, \(q = 4\).

17. Найдём \(b_1\): \(b_1 = \frac{30}{4^3 — 4} = \frac{30}{64 — 4} = \frac{30}{60} = 0{,}5\).

18. Сумма первых пяти членов: \(S_5 = b_1 \cdot \frac{q^5 — 1}{q — 1}\).

19. Подставим значения: \(S_5 = 0{,}5 \cdot \frac{4^5 — 1}{4 — 1}\).

20. \(4^5 = 1024\), значит \(S_5 = 0{,}5 \cdot \frac{1024 — 1}{3} = 0{,}5 \cdot \frac{1023}{3} = 0{,}5 \cdot 341 = 170{,}5\).