ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 238 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите первый член, знаменатель и количество членов конечной геометрической прогрессии \((a_n)\), если \(a_5 — a_1 = 9\), \(a_2 + a_3 = 3\), а сумма всех членов \(S_n = 153\).

1. Пусть первый член прогрессии \(a_1\), знаменатель \(q\). Тогда \(a_5 = a_1 q^4\), \(a_3 = a_1 q^2\).

2. По условию \(a_5 — a_1 = 9\), значит \(a_1 q^4 — a_1 = 9\), отсюда \(a_1 (q^4 — 1) = 9\), следовательно \(a_1 = \frac{9}{q^4 — 1}\).

3. По условию \(a_3 + a_1 = 3\), значит \(a_1 q^2 + a_1 = 3\), отсюда \(a_1 (q^2 + 1) = 3\), следовательно \(a_1 = \frac{3}{q^2 + 1}\).

4. Приравняем выражения для \(a_1\): \(\frac{9}{q^4 — 1} = \frac{3}{q^2 + 1}\).

5. Перемножим крест-накрест: \(9(q^2 + 1) = 3(q^4 — 1)\).

6. Раскроем скобки: \(9q^2 + 9 = 3q^4 — 3\).

7. Перенесём всё в одну сторону: \(3q^4 — 9q^2 — 12 = 0\).

8. Разделим на 3: \(q^4 — 3q^2 — 4 = 0\).

9. Решим как квадратное относительно \(q^2\): пусть \(x = q^2\), тогда \(x^2 — 3x — 4 = 0\).

10. Найдём корни: \(x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}\).

11. Первый корень: \(x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4\), второй корень: \(x_2 = \frac{3 — 5}{2} = -1\).

12. \(q^2 = 4 \Rightarrow q = 2\) (так как прогрессия возрастающая), \(q^2 = -1\) не подходит.

13. Подставим \(q = 2\) в формулу для \(a_1\): \(a_1 = \frac{3}{2^2 + 1} = \frac{3}{4 + 1} = \frac{3}{5} = 0{,}6\).

14. По формуле суммы геометрической прогрессии: \(S_n = a_1 \frac{q^n — 1}{q — 1}\).

15. Подставим значения: \(153 = 0{,}6 \cdot \frac{2^n — 1}{2 — 1}\).

16. \(153 = 0{,}6 \cdot (2^n — 1)\).

17. \(2^n — 1 = \frac{153}{0{,}6} = 255\).

18. \(2^n = 256\).

19. \(n = 8\).

20. Ответ: \(a_1 = 0{,}6\), \(q = 2\), \(n = 8\).

Рассмотрим геометрическую прогрессию, где первый член обозначен как \(a_1\), а знаменатель прогрессии — как \(q\). По формуле общего члена геометрической прогрессии, пятый член выражается как \(a_5 = a_1 q^4\), а третий член — как \(a_3 = a_1 q^2\). Используя условия задачи, что разность между пятым и первым членом равна 9 (\(a_5 — a_1 = 9\)), получаем уравнение: \(a_1 q^4 — a_1 = 9\). Преобразуем его: \(a_1 (q^4 — 1) = 9\), отсюда \(a_1 = \frac{9}{q^4 — 1}\). Второе условие гласит, что сумма третьего и первого членов равна 3 (\(a_3 + a_1 = 3\)), то есть \(a_1 q^2 + a_1 = 3\), что преобразуется в \(a_1 (q^2 + 1) = 3\), следовательно \(a_1 = \frac{3}{q^2 + 1}\).

Приравниваем два выражения для \(a_1\): \(\frac{9}{q^4 — 1} = \frac{3}{q^2 + 1}\). Перемножая крест-накрест, получаем уравнение: \(9(q^2 + 1) = 3(q^4 — 1)\). Раскрываем скобки: \(9q^2 + 9 = 3q^4 — 3\). Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно \(q^2\): \(3q^4 — 9q^2 — 12 = 0\). Делим обе части на 3 для упрощения: \(q^4 — 3q^2 — 4 = 0\). Вводим замену переменной \(x = q^2\), тогда уравнение принимает вид: \(x^2 — 3x — 4 = 0\). Находим корни квадратного уравнения по формуле: \(x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}\). Получаем два значения: \(x_1 = 4\) и \(x_2 = -1\). Поскольку \(q^2 = 4\), то \(q = 2\) (так как прогрессия возрастающая), а \(q^2 = -1\) не подходит, потому что квадрат числа не может быть отрицательным.

Теперь подставим найденное значение \(q = 2\) в формулу для первого члена: \(a_1 = \frac{3}{2^2 + 1} = \frac{3}{4 + 1} = \frac{3}{5} = 0{,}6\). Осталось найти количество членов прогрессии, если сумма всех членов равна 153. Формула суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии: \(S_n = a_1 \frac{q^n — 1}{q — 1}\). Подставляем известные значения: \(153 = 0{,}6 \cdot \frac{2^n — 1}{2 — 1}\). Поскольку знаменатель равен 1, получаем: \(153 = 0{,}6 \cdot (2^n — 1)\). Выразим \(2^n — 1\): \(2^n — 1 = \frac{153}{0{,}6} = 255\), значит \(2^n = 256\), откуда \(n = 8\).

В результате всех вычислений получаем окончательные значения: первый член прогрессии \(a_1 = 0{,}6\), знаменатель прогрессии \(q = 2\), количество членов \(n = 8\). Эти значения полностью соответствуют условиям задачи, и все шаги решения строго обоснованы с использованием формул и преобразований, характерных для геометрических прогрессий.