Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 238 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Найдите первый член, знаменатель и количество членов конечной геометрической прогрессии \((a_n)\), если \(a_5 — a_1 = 9\), \(a_2 + a_3 = 3\), а сумма всех членов \(S_n = 153\).
\(a_1 = \frac{3}{2^2 + 1} = \frac{3}{5} = 0{,}6\)
\(q = 2\)
\(0{,}6 \cdot (2^n — 1) = 153\)
\(2^n — 1 = \frac{153}{0{,}6} = 255\)
\(2^n = 256\)
\(n = 8\)
1. Пусть первый член прогрессии \(a_1\), знаменатель \(q\). Тогда \(a_5 = a_1 q^4\), \(a_3 = a_1 q^2\).
2. По условию \(a_5 — a_1 = 9\), значит \(a_1 q^4 — a_1 = 9\), отсюда \(a_1 (q^4 — 1) = 9\), следовательно \(a_1 = \frac{9}{q^4 — 1}\).
3. По условию \(a_3 + a_1 = 3\), значит \(a_1 q^2 + a_1 = 3\), отсюда \(a_1 (q^2 + 1) = 3\), следовательно \(a_1 = \frac{3}{q^2 + 1}\).
4. Приравняем выражения для \(a_1\): \(\frac{9}{q^4 — 1} = \frac{3}{q^2 + 1}\).
5. Перемножим крест-накрест: \(9(q^2 + 1) = 3(q^4 — 1)\).
6. Раскроем скобки: \(9q^2 + 9 = 3q^4 — 3\).
7. Перенесём всё в одну сторону: \(3q^4 — 9q^2 — 12 = 0\).
8. Разделим на 3: \(q^4 — 3q^2 — 4 = 0\).
9. Решим как квадратное относительно \(q^2\): пусть \(x = q^2\), тогда \(x^2 — 3x — 4 = 0\).
10. Найдём корни: \(x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}\).
11. Первый корень: \(x_1 = \frac{3 + 5}{2} = 4\), второй корень: \(x_2 = \frac{3 — 5}{2} = -1\).
12. \(q^2 = 4 \Rightarrow q = 2\) (так как прогрессия возрастающая), \(q^2 = -1\) не подходит.
13. Подставим \(q = 2\) в формулу для \(a_1\): \(a_1 = \frac{3}{2^2 + 1} = \frac{3}{4 + 1} = \frac{3}{5} = 0{,}6\).
14. По формуле суммы геометрической прогрессии: \(S_n = a_1 \frac{q^n — 1}{q — 1}\).
15. Подставим значения: \(153 = 0{,}6 \cdot \frac{2^n — 1}{2 — 1}\).
16. \(153 = 0{,}6 \cdot (2^n — 1)\).
17. \(2^n — 1 = \frac{153}{0{,}6} = 255\).
18. \(2^n = 256\).
19. \(n = 8\).
20. Ответ: \(a_1 = 0{,}6\), \(q = 2\), \(n = 8\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.