ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 239 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1) \(80; 30; 11{,}25; \ldots\);

2) \(10, 2\frac{5}{2}, 2, \ldots\).

\(b_1 = 80\), \(b_2 = 30\)
\(q = \frac{30}{80} = \frac{3}{8}\)
\(S = \frac{80}{1 — \frac{3}{8}} = \frac{80}{\frac{5}{8}} = 80 \cdot \frac{8}{5} = 16 \cdot 8 = 128\)
128

\(b_1 = 10\), \(b_2 = 2\sqrt{5}\)
\(q = \frac{2\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5}}{5}\)
\(S = \frac{10}{1 — \frac{\sqrt{5}}{5}} = \frac{10}{\frac{5 — \sqrt{5}}{5}} = 10 \cdot \frac{5}{5 — \sqrt{5}} = \frac{50}{5 — \sqrt{5}}\)
\(\frac{50(5+\sqrt{5})}{(5-\sqrt{5})(5+\sqrt{5})} = \frac{250 + 50\sqrt{5}}{25 — 5} = \frac{250 + 50\sqrt{5}}{20} = \frac{25 + 5\sqrt{5}}{2}\)
\(\frac{25 + 5\sqrt{5}}{2}\)

1) Дано: первый член прогрессии \(b_1 = 80\), второй член \(b_2 = 30\), третий член \(b_3 = 11{,}25\).

Найдём знаменатель прогрессии:
\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{30}{80} = \frac{3}{8}\)

Проверим:
\(b_3 = b_2 \cdot q = 30 \cdot \frac{3}{8} = \frac{90}{8} = 11{,}25\)
Всё верно.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:
\(S = \frac{b_1}{1 — q}\)

Подставим значения:
\(S = \frac{80}{1 — \frac{3}{8}}\)

Вычислим знаменатель:
\(1 — \frac{3}{8} = \frac{8}{8} — \frac{3}{8} = \frac{5}{8}\)

Подставим:
\(S = \frac{80}{\frac{5}{8}}\)

Деление на дробь заменим умножением на обратную:
\(\frac{80}{\frac{5}{8}} = 80 \cdot \frac{8}{5} = \frac{640}{5} = 128\)

Ответ:
128

2) Дано: первый член прогрессии \(b_1 = 10\), второй член \(b_2 = 2\sqrt{5}\), третий член \(b_3 = 2\).

Найдём знаменатель прогрессии:
\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5}}{5}\)

Проверим:
\(b_3 = b_2 \cdot q = 2\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{2 \cdot 5}{5} = 2\)
Всё верно.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:
\(S = \frac{b_1}{1 — q}\)

Подставим значения:
\(S = \frac{10}{1 — \frac{\sqrt{5}}{5}}\)

Вычислим знаменатель:
\(1 — \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{5 — \sqrt{5}}{5}\)

Подставим:
\(S = \frac{10}{\frac{5 — \sqrt{5}}{5}}\)

Деление на дробь заменим умножением на обратную:
\(\frac{10}{\frac{5 — \sqrt{5}}{5}} = 10 \cdot \frac{5}{5 — \sqrt{5}} = \frac{50}{5 — \sqrt{5}}\)

Умножим числитель и знаменатель на \(5 + \sqrt{5}\) для рационализации:
\(\frac{50}{5 — \sqrt{5}} \cdot \frac{5 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{5}} = \frac{50(5 + \sqrt{5})}{(5 — \sqrt{5})(5 + \sqrt{5})}\)

В знаменателе:
\((5 — \sqrt{5})(5 + \sqrt{5}) = 25 — (\sqrt{5})^2 = 25 — 5 = 20\)

В числителе:
\(50(5 + \sqrt{5}) = 250 + 50\sqrt{5}\)

Итак,
\(S = \frac{250 + 50\sqrt{5}}{20}\)

Сократим:
\(\frac{250}{20} = 12{,}5\), \(\frac{50\sqrt{5}}{20} = 2{,}5\sqrt{5}\)
Или запишем как одну дробь:
\(S = \frac{25 + 5\sqrt{5}}{2}\)

Ответ:
\(\frac{25 + 5\sqrt{5}}{2}\)