ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 241 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите первый член бесконечной геометрической прогрессии, сумма которой равна \(18\), а знаменатель равен \(\frac{2}{9}\).

Дано: \( q = \frac{2}{9} \), \( S = 18 \).

Сумма геометрической прогрессии: \( S = \frac{b_1}{1 — q} \).

Подставляем: \( 18 = \frac{b_1}{1 — \frac{2}{9}} \).

\( 1 — \frac{2}{9} = \frac{7}{9} \).

\( 18 = \frac{b_1}{\frac{7}{9}} \).

\( b_1 = 18 \cdot \frac{7}{9} \).

\( b_1 = 2 \cdot 7 = 14 \).

Ответ: \( 14 \).

В бесконечной геометрической прогрессии сумма всех её членов вычисляется по формуле: \( S = \frac{b_1}{1-q} \), где \( S \) — сумма всех членов, \( b_1 \) — первый член, а \( q \) — знаменатель прогрессии. В этом задании нам даны значения суммы \( S = 18 \) и знаменателя \( q = \frac{2}{9} \), и требуется найти первый член прогрессии \( b_1 \).

Сначала подставим известные значения в формулу: \( 18 = \frac{b_1}{1-\frac{2}{9}} \). Чтобы упростить выражение в знаменателе, найдем разность: \( 1-\frac{2}{9} \). Преобразуем число 1 к дроби с тем же знаменателем, что и у \( q \): \( 1 = \frac{9}{9} \). Тогда \( 1-\frac{2}{9} = \frac{9}{9} — \frac{2}{9} = \frac{7}{9} \). Теперь формула принимает вид: \( 18 = \frac{b_1}{\frac{7}{9}} \).

Чтобы найти неизвестный первый член \( b_1 \), нужно избавиться от дроби в знаменателе. Для этого умножим обе части уравнения на \( \frac{7}{9} \): \( b_1 = 18 \cdot \frac{7}{9} \). Выполним вычисление: \( 18 \cdot \frac{7}{9} = \frac{18 \cdot 7}{9} = \frac{126}{9} = 14 \). Таким образом, первый член прогрессии равен \( 14 \).