ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 243 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии \((b_n)\), если \(b_4 = 48, b_6 = 12\).

\(q^2 = \frac{12}{48} = \frac{1}{4}\)

\(q = \pm \frac{1}{2}\)

\(b_1 = \frac{48}{(\pm \frac{1}{2})^3} = 48 : (\pm \frac{1}{8}) = \pm 384\)

\(S = \frac{b_1}{1 — q}\)

\(S_1 = \frac{-384}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-384}{\frac{3}{2}} = -256\)

\(S_2 = \frac{384}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{384}{\frac{1}{2}} = 768\)

Ответ: \( -256;\; 768 \)

Рассмотрим, как найти знаменатель геометрической прогрессии, если даны её четвёртый и шестой члены. По формуле для n-го члена геометрической прогрессии: \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\), где \(b_n\) — n-й член, \(b_1\) — первый член, \(q\) — знаменатель прогрессии. Из условия задачи известно, что \(b_4 = 48\) и \(b_6 = 12\). Подставляем значения в формулу: \(b_6 = b_4 \cdot q^{6-4}\), то есть \(12 = 48 \cdot q^2\). Делим обе части на 48, чтобы получить уравнение относительно \(q^2\): \(q^2 = \frac{12}{48} = \frac{1}{4}\). Теперь находим \(q\): так как квадрат числа равен \(\frac{1}{4}\), то само число может быть как положительным, так и отрицательным, то есть \(q = \frac{1}{2}\) или \(q = -\frac{1}{2}\).

Далее определим первый член прогрессии для каждого значения \(q\). Используем формулу для четвёртого члена: \(b_4 = b_1 \cdot q^3\). Выразим отсюда \(b_1\): \(b_1 = \frac{b_4}{q^3}\). Для \(q = \frac{1}{2}\): \(b_1 = \frac{48}{(\frac{1}{2})^3} = \frac{48}{\frac{1}{8}}\). Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную: \(48 \cdot 8 = 384\). Для \(q = -\frac{1}{2}\): \(b_1 = \frac{48}{(-\frac{1}{2})^3} = \frac{48}{-\frac{1}{8}}\). Делим на отрицательную дробь: \(48 \cdot (-8) = -384\). Таким образом, возможны два варианта: при \(q = \frac{1}{2}\) первый член равен \(384\), а при \(q = -\frac{1}{2}\) — \(-384\).

Теперь рассчитаем сумму бесконечной геометрической прогрессии при каждом варианте. Формула суммы: \(S = \frac{b_1}{1 — q}\), где \(S\) — сумма всех членов прогрессии при \(|q| < 1\). Для \(q = \frac{1}{2}\), \(b_1 = 384\): \(S = \frac{384}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{384}{\frac{1}{2}}\). Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную: \(384 \cdot 2 = 768\). Для \(q = -\frac{1}{2}\), \(b_1 = -384\): \(S = \frac{-384}{1 — (-\frac{1}{2})} = \frac{-384}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{-384}{\frac{3}{2}}\). Делим на дробь: \(-384 \cdot \frac{2}{3} = -256\). Окончательно получаем два ответа: \(-256\) и \(768\).