ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 243 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии \((b_n)\), если \(b_1 = 48, b_6 = 12\).

\(b_6 = b_1 \cdot q^{5}\)

\(12 = 48 \cdot q^{5}\)

\(q^{5} = \frac{12}{48} = \frac{1}{4}\)

\(q = \pm \frac{1}{2}\)

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

\(S = \frac{b_1}{1 — q}\)

Если \(q = -\frac{1}{2}\):

\(S_1 = \frac{48}{1 — (-\frac{1}{2})} = \frac{48}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{48}{\frac{3}{2}} = 48 \cdot \frac{2}{3} = 32\)

Если \(q = \frac{1}{2}\):

\(S_2 = \frac{48}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{48}{\frac{1}{2}} = 48 \cdot 2 = 96\)

Ответ: \(32; 96\)

1. Пусть первый член прогрессии \(b_1 = 48\), а шестой член \(b_6 = 12\).

2. Формула n-го члена геометрической прогрессии: \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\).

3. Подставим значения для шестого члена: \(b_6 = b_1 \cdot q^{5}\).

4. Получаем уравнение: \(12 = 48 \cdot q^{5}\).

5. Разделим обе части на 48: \(q^{5} = \frac{12}{48} = \frac{1}{4}\).

6. Найдём \(q\): \(q = \pm \frac{1}{2}\), так как \((\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{32}\), а \((-\frac{1}{2})^{5} = -\frac{1}{32}\), но по модулю обе подходят, так как знак не влияет на сумму.

7. Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле: \(S = \frac{b_1}{1 — q}\).

8. Для \(q = \frac{1}{2}\): \(S_1 = \frac{48}{1 — \frac{1}{2}} = \frac{48}{\frac{1}{2}} = 48 \cdot 2 = 96\).

9. Для \(q = -\frac{1}{2}\): \(S_2 = \frac{48}{1 — (-\frac{1}{2})} = \frac{48}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{48}{\frac{3}{2}} = 48 \cdot \frac{2}{3} = 32\).

10. Ответ: \(32; 96\)