Учебное пособие «Алгебра 9 класс. Дидактические материалы» авторов Мерзляка А.Г., Полонского В.Б., Рабиновича Е.М. и Якира М.С. является важным инструментом для школьников, стремящихся углубить свои знания в области алгебры. Этот сборник отличается тщательно разработанной структурой и разнообразием учебных материалов, что делает процесс обучения более эффективным и интересным.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 244 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы
Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна \(162\), а сумма четырёх её первых членов равна \(160\). Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
Дано: \(S = 162\), \(S_4 = 160\).
\(S = \frac{b_1}{1-q} = 162\)
\(b_1 = 162(1-q)\)
\(S_4 = b_1 \cdot \frac{q^4 — 1}{q — 1} = 160\)
\(162(1-q) \cdot \frac{q^4 — 1}{q — 1} = 160\)
\(-162(q^4 — 1) = 160\)
\(q^4 — 1 = -\frac{160}{162} = -\frac{80}{81}\)
\(q^4 = 1 — \frac{80}{81} = \frac{1}{81}\)
\(q = \pm \frac{1}{3}\)
Если \(q = -\frac{1}{3}\):
\(b_1 = 162(1 — (-\frac{1}{3})) = 162 \cdot \frac{4}{3} = 216\)
Если \(q = \frac{1}{3}\):
\(b_1 = 162(1 — \frac{1}{3}) = 162 \cdot \frac{2}{3} = 108\)
216; \(-\frac{1}{3}\) или 108; \(\frac{1}{3}\)
Пусть у нас бесконечная геометрическая прогрессия, где первый член \(b_1\), а знаменатель прогрессии \(q\). Сумма всех членов такой прогрессии выражается формулой \(S = \frac{b_1}{1-q}\), при условии, что абсолютное значение \(q\) меньше 1. Из условия задачи известно, что сумма всей прогрессии равна 162, то есть \(S = 162\). Подставляем это значение в формулу: \(\frac{b_1}{1-q} = 162\). Чтобы выразить первый член, умножаем обе стороны на \((1-q)\): \(b_1 = 162(1-q)\).
Теперь рассмотрим сумму первых четырёх членов. Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии находится по формуле \(S_n = b_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}\). В нашем случае \(n = 4\), значит \(S_4 = b_1 \cdot \frac{1-q^4}{1-q}\). По условию задачи, эта сумма равна 160: \(S_4 = 160\). Подставляем выражение для \(b_1\) из первого шага: \(S_4 = 162(1-q) \cdot \frac{1-q^4}{1-q} = 160\). Заметим, что множитель \((1-q)\) сокращается, остаётся \(162(1-q^4) = 160\). Теперь решим это уравнение относительно \(q\).
Разделим обе части уравнения на 162, получаем: \(1-q^4 = \frac{160}{162}\). Сокращаем дробь, получаем \(1-q^4 = \frac{80}{81}\). Теперь выразим \(q^4\): \(q^4 = 1 — \frac{80}{81} = \frac{1}{81}\). Найдём значение \(q\): корень четвёртой степени из \(\frac{1}{81}\) равен \(\frac{1}{3}\) и \(-\frac{1}{3}\), так как \((\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}\) и \((-\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}\).
Теперь найдём первый член прогрессии для каждого значения \(q\). Если \(q = \frac{1}{3}\), то \(b_1 = 162(1-\frac{1}{3}) = 162 \cdot \frac{2}{3} = 108\). Если \(q = -\frac{1}{3}\), то \(b_1 = 162(1-(-\frac{1}{3})) = 162 \cdot \frac{4}{3} = 216\).
216; \(-\frac{1}{3}\) или 108; \(\frac{1}{3}\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.