ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 29 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях a можно разложить на линейные множители квадратный трёхчлен:

1) \(3x^2 + 5x + 24\);

2) \(ax^2 — 3x + 3\)?

1. \(3x^{2} + 5x + 2a\)
\(D = 5^{2} — 4 \cdot 3 \cdot 2a = 25 — 24a\)
\(25 — 24a \geq 0\)
\(a \leq \frac{25}{24}\)
\(a \in (-\infty; \frac{25}{24}]\)

2. \(ax^{2} — 3x + 3\)
\(D = (-3)^{2} — 4a \cdot 3 = 9 — 12a\)
\(9 — 12a \geq 0\)
\(a \leq \frac{9}{12}\)
\(a \leq 0{,}75\)
\(a \in (-\infty; 0{,}75]\)

Рассмотрим первый пример: квадратное уравнение имеет вид \(3x^{2} + 5x + 2a = 0\). Для того чтобы уравнение имело действительные корни, необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным. Формула дискриминанта для квадратного уравнения \(ax^{2} + bx + c = 0\) записывается как \(D = b^{2} — 4ac\). Подставляем значения коэффициентов: \(a = 3\), \(b = 5\), \(c = 2a\). Получаем \(D = 5^{2} — 4 \cdot 3 \cdot 2a\). После вычисления произведения и упрощения получаем: \(D = 25 — 24a\).

Далее, чтобы уравнение имело хотя бы один действительный корень, дискриминант должен быть больше либо равен нулю: \(25 — 24a \geq 0\). Переносим слагаемое \(24a\) вправо, получаем: \(25 \geq 24a\). Теперь делим обе части неравенства на 24, чтобы выразить \(a\): \(a \leq \frac{25}{24}\). Это означает, что все значения параметра \(a\), которые меньше либо равны \(\frac{25}{24}\), обеспечивают наличие действительных корней у данного квадратного уравнения. Итоговое множество значений параметра: \(a \in (-\infty; \frac{25}{24}]\).

Переходим ко второму примеру: квадратное уравнение \(ax^{2} — 3x + 3 = 0\). Здесь коэффициенты: \(a\) — перед \(x^{2}\), \(-3\) — перед \(x\), \(3\) — свободный член. Дискриминант вычисляется по формуле: \(D = (-3)^{2} — 4a \cdot 3\). Возводим \(-3\) в квадрат: \((-3)^{2} = 9\), затем вычисляем произведение: \(4a \cdot 3 = 12a\). Подставляем значения: \(D = 9 — 12a\).

Чтобы уравнение имело действительные корни, требуется: \(9 — 12a \geq 0\). Переносим \(12a\) вправо: \(9 \geq 12a\). Делим обе стороны неравенства на 12: \(a \leq \frac{9}{12}\). Сокращаем дробь: \(\frac{9}{12} = 0{,}75\). Следовательно, допустимые значения параметра \(a\) для наличия действительных корней — все числа, не превышающие \(0{,}75\): \(a \in (-\infty; 0{,}75]\).

В обоих случаях подробно рассмотрены все этапы вычисления дискриминанта, преобразования неравенств и нахождения множества возможных значений параметра \(a\). Это позволяет не только найти ответ, но и понять логику решения подобных задач, а также чётко проследить, как каждый шаг влияет на итоговое множество решений.