ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 29 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях a можно разложить на линейные множители квадратный трёхчлен:

1) \(3x^2 + 5x + 24\);

2) \(ax^2 — 3x + 3\)?

\(3x^{2} + 5x + 2a\)
\(D = 5^{2} — 4 \cdot 3 \cdot 2a = 25 — 24a\)
\(25 — 24a \geq 0\)
\(a \leq \frac{25}{24}\)
\(a \in (-\infty; \frac{25}{24}]\)

\(ax^{2} — 3x + 3\)
\(D = (-3)^{2} — 4a \cdot 3 = 9 — 12a\)
\(9 — 12a \geq 0\)
\(a \leq \frac{9}{12}\)
\(a \leq 0{,}75\)
\(a \in (-\infty; 0{,}75]\)

1)
Рассмотрим квадратный трёхчлен \(3x^{2} + 5x + 2a\).
Для разложения на множители по формуле необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным.
Выпишем дискриминант: \(D = 5^{2} — 4 \cdot 3 \cdot 2a = 25 — 24a\).
Требуемое условие: \(25 — 24a \geq 0\).
Решим это неравенство: \(25 \geq 24a\).
Разделим обе части на 24: \(a \leq \frac{25}{24}\).
Ответ: \(a \in (-\infty; \frac{25}{24}]\).

2)
Рассмотрим квадратный трёхчлен \(ax^{2} — 3x + 3\).
Для разложения на множители по формуле необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным.
Выпишем дискриминант: \(D = (-3)^{2} — 4a \cdot 3 = 9 — 12a\).
Требуемое условие: \(9 — 12a \geq 0\).
Решим это неравенство: \(9 \geq 12a\).
Разделим обе части на 12: \(a \leq \frac{9}{12}\).
Преобразуем дробь: \(a \leq 0{,}75\).
Ответ: \(a \in (-\infty; 0{,}75]\).