ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 3 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

1) \((a+6)(a-9)>(a+11)(a-14)\);

2) \((a-10)^2-12<(a-7)(a-18)\);

3) \((4a-1)(4a+1)-(5a-7)^2\leq 14(5a-4)+6\).

1) \((a+6)(a-9)-(a+11)(a-14)=\)
\(=a^{2}-9a+6a-54-(a^{2}-14a+11a-154)=\)
\(=-3a-54-(-3a-154)=-54+154=100>0\)

2) \((a-10)^{2}-12-(a-7)(a-13)=\)
\(=a^{2}-20a+100-12-(a^{2}-13a-7a+91)=\)
\(=-20a+100-12-(-20a+91)=100-12-91=-3<0\)

3) \((4a-1)(4a+1)-(5a-7)^{2}-(14(5a-4)+6)=\)
\(=16a^{2}-1-(25a^{2}-70a+49)-(70a-56+6)=\)
\(=16a^{2}-25a^{2}-1-49+56-6+70a-70a=\)
\(=-9a^{2}\leq0\)

1)
Рассмотрим выражение \((a+6)(a-9)-(a+11)(a-14)\).
Раскроем скобки:
\((a+6)(a-9)=a^{2}-9a+6a-54=a^{2}-3a-54\)
\((a+11)(a-14)=a^{2}-14a+11a-154=a^{2}-3a-154\)
Вычтем второе выражение из первого:
\((a^{2}-3a-54)-(a^{2}-3a-154)=-54+154=100\)
Получили \(100>0\), значит, неравенство выполняется.

2)
Рассмотрим выражение \((a-10)^{2}-12-(a-7)(a-13)\).
Раскроем скобки:
\((a-10)^{2}=a^{2}-20a+100\)
\((a-7)(a-13)=a^{2}-13a-7a+91=a^{2}-20a+91\)
Подставим в исходное выражение:
\((a^{2}-20a+100)-12-(a^{2}-20a+91)\)
Раскроем скобки:
\(a^{2}-20a+100-12-a^{2}+20a-91\)
Приведём подобные:
\(a^{2}-a^{2}-20a+20a+100-12-91=100-12-91=-3\)
Получили \(-3<0\), значит, неравенство выполняется.

3)
Рассмотрим выражение \((4a-1)(4a+1)-(5a-7)^{2}-(14(5a-4)+6)\).
Раскроем скобки:
\((4a-1)(4a+1)=16a^{2}-1\)
\((5a-7)^{2}=25a^{2}-70a+49\)
\(14(5a-4)+6=70a-56+6=70a-50\)
Подставим в исходное выражение:
\(16a^{2}-1-(25a^{2}-70a+49)-(70a-50)\)
Раскроем скобки:
\(16a^{2}-1-25a^{2}+70a-49-70a+50\)
Приведём подобные:
\(16a^{2}-25a^{2}+70a-70a-1-49+50=-9a^{2}\)
Получили \(-9a^{2}\leq0\), значит, неравенство выполняется.