ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 33 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(|x + 3| — x = 2\);

2) \(|3x-1| + x = 2\);

3) \(|x-2| + x = 8\);

4) \(|x+2| — x = 6\).

1)
Если \(x \geq -3\):
\(x + 3 — x = 2\)
\(3 = 2\)
\(x \in \emptyset\)
Если \(x < -3\):
\(-(x + 3) — x = 2\)
\(-x — 3 — x = 2\)
\(-2x — 3 = 2\)
\(-2x = 5\)
\(x = -2{,}5\)
Но \(-2{,}5 > -3\), значит \(x \in \emptyset\)
Ответ: корней нет.

2)
Если \(x \geq \frac{1}{3}\):
\(3x — 1 + x = 2\)
\(4x — 1 = 2\)
\(4x = 3\)
\(x = \frac{3}{4} = 0{,}75\)
Если \(x < \frac{1}{3}\):
\(-(3x — 1) + x = 2\)
\(-3x + 1 + x = 2\)
\(-2x + 1 = 2\)
\(-2x = 1\)
\(x = -\frac{1}{2} = -0{,}5\)
Ответ: \(0{,}75; -0{,}5\)

3)
Если \(x \geq 2\):
\(x — 2 + x = 8\)
\(2x — 2 = 8\)
\(2x = 10\)
\(x = 5\)
Если \(x < 2\):
\(-(x — 2) + x = 8\)
\(-x + 2 + x = 8\)
\(2 = 8\)
\(x \in \emptyset\)
Ответ: \(5\)

4)
Если \(x \geq -2\):
\(x + 2 — x = 6\)
\(2 = 6\)
\(x \in \emptyset\)
Если \(x < -2\):
\(-(x + 2) — x = 6\)
\(-x — 2 — x = 6\)
\(-2x — 2 = 6\)
\(-2x = 8\)
\(x = -4\)
Ответ: \(-4\)

1)
Рассмотрим два случая:
Если \(x + 3 \geq 0\), то \(|x + 3| = x + 3\).
Подставляем: \(x + 3 — x = 2\).
Получаем: \(3 = 2\).
Это неверно, значит решений нет.
Если \(x + 3 < 0\), то \(|x + 3| = -(x + 3)\).
Подставляем: \(-(x + 3) — x = 2\).
Раскрываем скобки: \(-x — 3 — x = 2\).
Собираем подобные: \(-2x — 3 = 2\).
Переносим: \(-2x = 5\).
Делим: \(x = -2{,}5\).
Проверяем условие: \(-2{,}5 > -3\), не подходит.
Ответ: \(x \in \emptyset\).

2)
Рассмотрим два случая:
Если \(3x — 1 \geq 0\), то \(|3x — 1| = 3x — 1\).
Подставляем: \(3x — 1 + x = 2\).
Собираем подобные: \(4x — 1 = 2\).
Переносим: \(4x = 3\).
Делим: \(x = \frac{3}{4}\).
Проверяем условие: \(\frac{3}{4} \geq \frac{1}{3}\), подходит.
Если \(3x — 1 < 0\), то \(|3x — 1| = -(3x — 1)\).
Подставляем: \(-(3x — 1) + x = 2\).
Раскрываем скобки: \(-3x + 1 + x = 2\).
Собираем подобные: \(-2x + 1 = 2\).
Переносим: \(-2x = 1\).
Делим: \(x = -\frac{1}{2}\).
Проверяем условие: \(-\frac{1}{2} < \frac{1}{3}\), подходит.
Ответ: \(0{,}75; -0{,}5\).

3)
Рассмотрим два случая:
Если \(x — 2 \geq 0\), то \(|x — 2| = x — 2\).
Подставляем: \(x — 2 + x = 8\).
Собираем подобные: \(2x — 2 = 8\).
Переносим: \(2x = 10\).
Делим: \(x = 5\).
Проверяем условие: \(5 \geq 2\), подходит.
Если \(x — 2 < 0\), то \(|x — 2| = -(x — 2)\).
Подставляем: \(-(x — 2) + x = 8\).
Раскрываем скобки: \(-x + 2 + x = 8\).
Собираем подобные: \(2 = 8\).
Это неверно, значит решений нет.
Ответ: \(5\).

4)
Рассмотрим два случая:
Если \(x + 2 \geq 0\), то \(|x + 2| = x + 2\).
Подставляем: \(x + 2 — x = 6\).
Собираем подобные: \(2 = 6\).
Это неверно, значит решений нет.
Если \(x + 2 < 0\), то \(|x + 2| = -(x + 2)\).
Подставляем: \(-(x + 2) — x = 6\).
Раскрываем скобки: \(-x — 2 — x = 6\).
Собираем подобные: \(-2x — 2 = 6\).
Переносим: \(-2x = 8\).
Делим: \(x = -4\).
Проверяем условие: \(-4 < -2\), подходит.
Ответ: \(-4\).