ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 34 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(|x + 3| — x = 2\);

2) \(|3x-1| + x = 2\);

3) \(|x-2| + x = 8\);

4) \(|x+2| — x = 6\).

1) Для функции \( y = |x + 2| \):
Число под знаком модуля \( x + 2 \geq 0 \), значит \( x \geq -2 \).
Если \( x \geq -2 \), то \( y = x + 2 \).
Если \( x < -2 \), то \( y = -(x + 2) = -x — 2 \).
Таблица значений:

2) Для функции \( y = |x — 4| — 2 \):
Число под знаком модуля \( x — 4 \geq 0 \), значит \( x \geq 4 \).
Если \( x \geq 4 \), то \( y = (x — 4) — 2 = x — 6 \).
Если \( x < 4 \), то \( y = -(x — 4) — 2 = -x + 2 \).
Таблица значений:

3) Для функции \( y = |x + 1| + 2x \):
Число под знаком модуля \( x + 1 \geq 0 \), значит \( x \geq -1 \).
Если \( x \geq -1 \), то \( y = (x + 1) + 2x = 3x + 1 \).
Если \( x < -1 \), то \( y = -(x + 1) + 2x = x — 1 \).
Таблица значений:

1) Рассмотрим функцию \( y = |x + 2| \). Для построения графика этой функции необходимо определить, как ведет себя выражение внутри модуля. Мы знаем, что модуль меняет знак в зависимости от того, положительное или отрицательное значение принимает выражение внутри него.

Сначала найдем точку, где выражение внутри модуля равно нулю. Решаем уравнение \( x + 2 = 0 \), откуда \( x = -2 \). Это означает, что при \( x \geq -2 \) выражение \( x + 2 \geq 0 \), и модуль не меняет знак, то есть \( y = x + 2 \). Если же \( x < -2 \), то выражение \( x + 2 < 0 \), и модуль меняет знак на противоположный, то есть \( y = -(x + 2) = -x — 2 \).

Теперь составим таблицу значений для наглядности. Выберем точки слева и справа от \( x = -2 \), чтобы увидеть поведение функции в обеих областях.

Используя эти точки, можно построить график. Функция будет иметь V-образную форму с вершиной в точке \( x = -2 \), \( y = 0 \). Справа от этой точки график идет вверх по прямой \( y = x + 2 \), а слева — также вверх по прямой \( y = -x — 2 \).

2) Рассмотрим функцию \( y = |x — 4| — 2 \). Для построения графика определим поведение выражения внутри модуля. Модуль меняет знак в зависимости от значения выражения внутри него.

Найдем точку, где выражение внутри модуля равно нулю. Решаем уравнение \( x — 4 = 0 \), откуда \( x = 4 \). Это означает, что при \( x \geq 4 \) выражение \( x — 4 \geq 0 \), и модуль не меняет знак, то есть \( y = (x — 4) — 2 = x — 6 \). Если же \( x < 4 \), то выражение \( x — 4 < 0 \), и модуль меняет знак, то есть \( y = -(x — 4) — 2 = -x + 2 \).

Составим таблицу значений, выбрав точки слева и справа от \( x = 4 \), чтобы увидеть поведение функции.

По этим точкам можно построить график. Функция также имеет V-образную форму с вершиной в точке \( x = 4 \), \( y = -2 \). Справа от вершины график идет вверх по прямой \( y = x — 6 \), а слева — вверх по прямой \( y = -x + 2 \).

3) Рассмотрим функцию \( y = |x + 1| + 2x \). Для построения графика определим, как ведет себя выражение внутри модуля, и учтем дополнительное слагаемое \( 2x \).

Найдем точку, где выражение внутри модуля равно нулю. Решаем уравнение \( x + 1 = 0 \), откуда \( x = -1 \). Это означает, что при \( x \geq -1 \) выражение \( x + 1 \geq 0 \), и модуль не меняет знак, то есть \( y = (x + 1) + 2x = 3x + 1 \). Если же \( x < -1 \), то выражение \( x + 1 < 0 \), и модуль меняет знак, то есть \( y = -(x + 1) + 2x = x — 1 \).

Составим таблицу значений, выбрав точки слева и справа от \( x = -1 \), чтобы увидеть поведение функции.

По этим точкам строим график. Функция состоит из двух прямых линий, пересекающихся в точке \( x = -1 \), \( y = -2 \). Справа от этой точки график идет вверх по прямой \( y = 3x + 1 \), а слева — вниз по прямой \( y = x — 1 \).