ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 35 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(b\) имеет отрицательный корень уравнение:

1) \(3x — 4 = 2b\);

2) \((b + 1)x = 7\)?

\(3x — 4 = 2b\)
\(3x = 2b + 4\)
\(x = \frac{2b + 4}{3}\)
\(\frac{2b + 4}{3} < 0\)
\(2b + 4 < 0\)
\(2b < -4\)
\(b < -2\)
\(b \in (-\infty; -2)\)

\((b + 1)x = 7\)
\(x = \frac{7}{b + 1}\)
\(\frac{7}{b + 1} < 0\)
\(b + 1 < 0\)
\(b < -1\)
\(b \in (-\infty; -1)\)

Рассмотрим первое уравнение: \(3x — 4 = 2b\). Для того чтобы выразить переменную \(x\), необходимо сначала изолировать её. Сначала переносим \(-4\) в правую часть уравнения, изменяя знак: \(3x = 2b + 4\). Теперь, чтобы получить значение \(x\), делим обе части уравнения на 3, поскольку коэффициент при \(x\) равен 3. Получаем: \(x = \frac{2b + 4}{3}\). Это выражение показывает зависимость корня уравнения от параметра \(b\).

Нам требуется, чтобы корень \(x\) был отрицательным, то есть \(x < 0\). Подставляем выражение для \(x\) в неравенство: \(\frac{2b + 4}{3} < 0\). Поскольку знаменатель 3 положителен, знак дроби определяется только знаком числителя. Следовательно, чтобы дробь была отрицательной, числитель должен быть меньше нуля: \(2b + 4 < 0\). Это линейное неравенство относительно \(b\). Переносим 4 в правую часть, чтобы изолировать переменную: \(2b < -4\). Теперь делим обе части на 2, получая: \(b < -2\). Таким образом, все значения параметра \(b\), которые меньше \(-2\), делают корень уравнения отрицательным. Итоговое множество решений: \(b \in (-\infty; -2)\).

Перейдём ко второму уравнению: \((b + 1)x = 7\). Для нахождения \(x\) делим обе части уравнения на \(b + 1\) (предполагая, что \(b + 1 \neq 0\), иначе уравнение не имеет смысла): \(x = \frac{7}{b + 1}\). Теперь необходимо определить, при каких значениях параметра \(b\) корень \(x\) будет отрицательным, то есть \(x < 0\). Подставляем выражение для \(x\) в неравенство: \(\frac{7}{b + 1} < 0\). Так как 7 — положительное число, то дробь будет отрицательной только в том случае, если её знаменатель отрицателен. Следовательно, \(b + 1 < 0\). Решая это простое неравенство, переносим 1 в правую часть: \(b < -1\). Таким образом, множество всех таких \(b\) — это \(b \in (-\infty; -1)\).

В обоих случаях мы подробно разобрали процесс перехода от исходного уравнения к выражению для корня, затем построили неравенство, определяющее знак корня, и далее — логически обосновали, почему именно такие значения параметра \(b\) делают корень отрицательным. Для первого уравнения решающим был знак числителя дроби, а для второго — знак знаменателя. В результате получили два множества решений: для первого уравнения это \(b \in (-\infty; -2)\), для второго — \(b \in (-\infty; -1)\).