ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 36 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(b\) имеет единственный положительный корень уравнение:

1) \((b-8)x = 52 — 9x\);

2) \((5b^2 + 7b)x = b\)?

1. Решим уравнение \((b-3)x = b^{2} — 9\).

Преобразуем правую часть: \(b^{2} — 9 = (b-3)(b+3)\).

Получаем: \((b-3)x = (b-3)(b+3)\).

Если \(b-3 \neq 0\), то можно разделить обе части на \(b-3\):

\(x = b+3\).

Корень единственный, если \(b-3 \neq 0\), то есть \(b \neq 3\).

Чтобы корень был положительным: \(b+3 > 0\), значит \(b > -3\).

Итак, ответ: \(b > -3, b \neq 3\).

Значит, \(b \in (-3; 3) \cup (3; +\infty)\).

2. Решим уравнение \((5b^{2} + 7b)x = b\).

Если \(5b^{2} + 7b \neq 0\), то можно разделить обе части на \(5b^{2} + 7b\):

\(x = \frac{b}{5b^{2} + 7b}\).

Сократим дробь: \(x = \frac{1}{5b + 7}\), если \(b \neq 0\).

Корень единственный, если \(5b^{2} + 7b \neq 0\), то есть \(b \neq 0\) и \(5b + 7 \neq 0\).

Чтобы корень был положительным: \(\frac{1}{5b + 7} > 0\), значит \(5b + 7 > 0\), отсюда \(b > -1{,}4\).

Итак, ответ: \(b > -1{,}4, b \neq 0\).

Значит, \(b \in (-1{,}4; 0) \cup (0; +\infty)\).

Рассмотрим первое уравнение: \((b-3)x = b^{2} — 9\). Преобразуем правую часть, заметив, что \(b^{2} — 9\) — это разность квадратов, которая раскладывается на множители: \(b^{2} — 9 = (b-3)(b+3)\). Таким образом, уравнение принимает вид \((b-3)x = (b-3)(b+3)\). Теперь, если \(b-3 \neq 0\), то есть \(b \neq 3\), обе части можно разделить на одинаковый множитель \(b-3\), и получаем \(x = b+3\). Если же \(b-3 = 0\), то есть \(b=3\), то уравнение принимает вид \(0 \cdot x = 0\), что означает, что любое значение \(x\) является решением, но такие случаи не рассматриваем, так как требуется единственный корень.

Чтобы найденный корень \(x = b+3\) был положительным, необходимо, чтобы \(b+3 > 0\). Это неравенство приводит к условию \(b > -3\). Однако, как уже было отмечено, \(b\) не должен быть равен 3, чтобы выражение \(b-3\) не обращалось в ноль. Таким образом, допустимые значения параметра \(b\) находятся в промежутке \(b > -3\), но при этом \(b \neq 3\).

Объединяя оба условия, окончательно получаем, что \(b\) принадлежит объединению двух промежутков: от \(-3\) до 3 (не включая 3) и от 3 до бесконечности. То есть, \(b \in (-3; 3) \cup (3; +\infty)\). В этом случае уравнение имеет единственный положительный корень.

Рассмотрим второе уравнение: \((5b^{2} + 7b)x = b\). Если коэффициент при \(x\) не равен нулю, то есть \(5b^{2} + 7b \neq 0\), можно разделить обе части на этот коэффициент и получить \(x = \frac{b}{5b^{2} + 7b}\). Заметим, что выражение \(5b^{2} + 7b\) можно разложить на множители: \(5b^{2} + 7b = b(5b + 7)\). Поэтому, если \(b \neq 0\), дробь сокращается, и получаем \(x = \frac{1}{5b + 7}\).

Для того чтобы найденный корень был единственным, необходимо, чтобы знаменатель не обращался в ноль, то есть \(5b + 7 \neq 0\), откуда \(b \neq -1{,}4\). Но при этом \(b\) не должен быть равен нулю, чтобы не возникло деления на ноль при сокращении. Таким образом, допустимые значения параметра — все числа, кроме 0 и \(-1{,}4\).

Далее, чтобы корень \(x = \frac{1}{5b + 7}\) был положительным, требуется, чтобы знаменатель был положительным: \(5b + 7 > 0\), откуда \(b > -1{,}4\). Исключая \(b = 0\), окончательно получаем, что \(b\) принадлежит промежуткам \(b \in (-1{,}4; 0) \cup (0; +\infty)\). Именно при этих значениях параметра уравнение имеет единственный положительный корень.