ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 37 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) имеет два различных действительных корня уравнение:

1) \(x^2 — 8x + 5a = 0\);

2) \((a + 3)x^2 — (24 — 1)x + a = 0\);

3) \((a-5)x^2 — 2(a — 6)x + a — 4 = 0\);

4) \(x^2 — 2(a-1)x + 20a + 4a + 10 = 0\)?

1) \(a \in (-\infty; \frac{9}{20})\)

2) \(a \in (-\infty; -3) \cup (-3; \frac{1}{16})\)

3) \(a \in (-\infty; 5) \cup (5; \frac{64}{12})\)

4) \(a \in \emptyset\)

1) Данное уравнение: \(x^{2} — 3x + 5a = 0\).
Находим дискриминант: \(D = (-3)^{2} — 4 \cdot 1 \cdot 5a = 9 — 20a\).
Чтобы уравнение имело два корня, нужно: \(D > 0\), то есть \(9 — 20a > 0\).
Решаем неравенство: \(9 > 20a\), отсюда \(a < \frac{9}{20}\).
Ответ: \(a \in (-\infty; \frac{9}{20})\).

2) Данное уравнение: \((a + 3)x^{2} — (2a — 1)x + a = 0\).
Находим дискриминант: \(D = (2a — 1)^{2} — 4(a + 3)a = 4a^{2} — 4a + 1 — 4a^{2} — 12a = 1 — 16a\).
Для двух корней: \(D > 0\), то есть \(1 — 16a > 0\).
Решаем: \(1 > 16a\), отсюда \(a < \frac{1}{16}\).
Также уравнение становится линейным при \(a + 3 = 0\), то есть \(a = -3\),
поэтому ответ: \(a \in (-\infty; -3) \cup (-3; \frac{1}{16})\).

3) Данное уравнение: \((a — 5)x^{2} — 2(a — 6)x + (a — 4) = 0\).
Находим дискриминант:
\(D = [-2(a — 6)]^{2} — 4(a — 5)(a — 4)\)
\(D = 4(a — 6)^{2} — 4(a — 5)(a — 4)\)
\(D = 4(a^{2} — 12a + 36) — 4(a^{2} — 9a + 20)\)
\(D = 4a^{2} — 48a + 144 — 4a^{2} + 36a — 80\)
\(D = -12a + 64\)
Для двух корней: \(-12a + 64 > 0\), то есть \(64 > 12a\), отсюда \(a < \frac{64}{12}\).
Также уравнение становится линейным при \(a — 5 = 0\), то есть \(a = 5\),
поэтому ответ: \(a \in (-\infty; 5) \cup (5; \frac{64}{12})\).

4) Данное уравнение: \(x^{2} + 2(a — 1)x + (2a^{2} + 4a + 10) = 0\).
Находим дискриминант:
\(D = [2(a — 1)]^{2} — 4 \cdot 1 \cdot (2a^{2} + 4a + 10)\)
\(D = 4(a^{2} — 2a + 1) — 8a^{2} — 16a — 40\)
\(D = 4a^{2} — 8a + 4 — 8a^{2} — 16a — 40\)
\(D = -4a^{2} — 24a — 36\)
\(D = -4(a^{2} + 6a + 9)\)
Для двух корней: \(-4(a^{2} + 6a + 9) > 0\), то есть \(a^{2} + 6a + 9 < 0\).
Но \(a^{2} + 6a + 9 = (a + 3)^{2}\), а квадрат любого числа не может быть меньше нуля.
Ответ: \(a \in \emptyset\)