ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 4 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Докажите неравенство:

1) \(a^3-8a+17>0\);

2) \(6y-9y^2-4<0\);

3) \(a(a-10)>4(a-13)\);

4) \(x^2+9x+2x+6\geq 0\);

5) \(x^2-6xy+10y^2-4y+7>0\);

6) \(x^2+7x+22x+6\).

1) \(a^{2} — 8a + 17 = (a — 4)^{2} + 1 > 0\)
Что и требовалось доказать.

2) \(6y — 9y^{2} — 4 = — (3y — 1)^{2} — 3 < 0\)
Что и требовалось доказать.

3) \(a(a — 10) — 4(a — 13) = (a — 7)^{2} + 3 > 0\)
Что и требовалось доказать.

4) \(x^{2} + 9y^{2} + 2x + 6y + 2 = (x + 1)^{2} + (3y + 1)^{2} \geq 0\)
Что и требовалось доказать.

5) \(x^{2} — 6xy + 10y^{2} — 4y + 7 = (x — 3y)^{2} + (y — 2)^{2} + 3 > 0\)
Что и требовалось доказать.

6) \(\frac{x^{2} + 7}{\sqrt{x^{2} + 6}} = \frac{(\sqrt{x^{2} + 6})^{2} + 1}{\sqrt{x^{2} + 6}} = \frac{b^{2} + 1}{b}\), где \(b = \sqrt{x^{2} + 6}\)
\(\frac{b^{2} + 1}{b} — 2 = \frac{(b — 1)^{2}}{b} \geq 0\)
Что и требовалось доказать.

1)
Рассмотрим выражение \(a^{2} — 8a + 17\).
Дополняем до полного квадрата:
\(a^{2} — 8a + 16 + 1 = (a — 4)^{2} + 1\).
Поскольку \((a — 4)^{2} \geq 0\), то \((a — 4)^{2} + 1 > 0\) при любом \(a\).
Что и требовалось доказать.

2)
Рассмотрим выражение \(6y — 9y^{2} — 4\).
Вынесем минус и преобразуем:
\(6y — 9y^{2} — 4 = -9y^{2} + 6y — 4 = -(9y^{2} — 6y + 4)\).
Дополняем до полного квадрата:
\(9y^{2} — 6y + 1 + 3 = (3y — 1)^{2} + 3\),
поэтому
\(-(9y^{2} — 6y + 4) = -(3y — 1)^{2} — 3\).
Так как \((3y — 1)^{2} \geq 0\), то \(-(3y — 1)^{2} — 3 < 0\) при любом \(y\).
Что и требовалось доказать.

3)
Рассмотрим выражение \(a(a — 10) > 4(a — 13)\).
Перенесём всё в одну сторону:
\(a(a — 10) — 4(a — 13) = a^{2} — 10a — 4a + 52 = a^{2} — 14a + 52\).
Дополняем до полного квадрата:
\(a^{2} — 14a + 49 + 3 = (a — 7)^{2} + 3\).
Поскольку \((a — 7)^{2} \geq 0\), то \((a — 7)^{2} + 3 > 0\) при любом \(a\).
Что и требовалось доказать.

4)
Рассмотрим выражение \(x^{2} + 9y^{2} + 2x + 6y + 2\).
Группируем и дополняем до квадратов:
\(x^{2} + 2x + 1 + 9y^{2} + 6y + 1 = (x + 1)^{2} + (3y + 1)^{2}\).
Остаток: \(2 — 2 = 0\).
Итак,
\(x^{2} + 9y^{2} + 2x + 6y + 2 = (x + 1)^{2} + (3y + 1)^{2}\).
Сумма квадратов всегда неотрицательна, то есть \((x + 1)^{2} + (3y + 1)^{2} \geq 0\).
Что и требовалось доказать.

5)
Рассмотрим выражение \(x^{2} — 6xy + 10y^{2} — 4y + 7\).
Группируем:
\(x^{2} — 6xy + 9y^{2} + y^{2} — 4y + 4 + 3\).
Дополняем до квадратов:
\(x^{2} — 6xy + 9y^{2} = (x — 3y)^{2}\),
\(y^{2} — 4y + 4 = (y — 2)^{2}\),
Остаток: \(7 — 4 = 3\).
Итак,
\(x^{2} — 6xy + 10y^{2} — 4y + 7 = (x — 3y)^{2} + (y — 2)^{2} + 3\).
Сумма квадратов и число 3 всегда больше нуля.
Что и требовалось доказать.

6)
Рассмотрим выражение \(\frac{x^{2} + 7}{\sqrt{x^{2} + 6}}\).
Обозначим \(b = \sqrt{x^{2} + 6}\), тогда \(x^{2} = b^{2} — 6\).
Подставляем:
\(\frac{x^{2} + 7}{\sqrt{x^{2} + 6}} = \frac{b^{2} — 6 + 7}{b} = \frac{b^{2} + 1}{b}\).
Докажем, что \(\frac{b^{2} + 1}{b} \geq 2\) при \(b > 0\):
\(\frac{b^{2} + 1}{b} — 2 = \frac{b^{2} + 1 — 2b}{b} = \frac{(b — 1)^{2}}{b}\).
Поскольку \(b > 0\) и \((b — 1)^{2} \geq 0\), то \(\frac{(b — 1)^{2}}{b} \geq 0\).
Что и требовалось доказать.