ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 47 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Найдите множество решений системы неравенств:

1) \(4(x-1)-3(x+1) < x, 0,5(x + 2) \leq 2(x + 1,5) — 4\);

2) \(\frac{2 — 4x — 1}{8} < 3x, x(x-8)-22 > (x + 2)(x — 10)\).

1) Решим первое неравенство: \(4(x-1) — 3(x+1) < x\). Раскрываем скобки: \(4x — 4 — 3x — 3 < x\). Получаем: \(x — 7 < x\). Вычтем \(x\): \(-7 < 0\). Это верно при любом \(x\).

Решим второе неравенство: \(0{,}5(x + 2) \leq 2(x + 1{,}5) — 4\). Раскрываем скобки: \(0{,}5x + 1 \leq 2x + 3 — 4\). Получаем: \(0{,}5x + 1 \leq 2x — 1\). Переносим всё в одну сторону: \(0{,}5x + 1 — 2x + 1 \leq 0\), получаем \(-1{,}5x + 2 \leq 0\). Переносим \(2\): \(-1{,}5x \leq -2\). Делим на \(-1{,}5\), меняем знак: \(x \geq \frac{4}{3}\).

Ответ: \(x \in \left( \frac{4}{3}; +\infty \right)\).

2) Решим первое неравенство: \(\frac{2 — 4x — 1}{6} < 3x\). Считаем числитель: \(2 — 4x — 1 = 1 — 4x\). Получаем: \(\frac{1 — 4x}{6} < 3x\). Умножаем на 6: \(1 — 4x < 18x\). Переносим: \(1 < 22x\). Делим: \(x > \frac{1}{22}\).

Решим второе неравенство: \(x(x-8) — 22 > (x+2)(x-10)\). Раскрываем скобки: \(x^2 — 8x — 22 > x^2 — 10x + 2x — 20\). Получаем: \(x^2 — 8x — 22 > x^2 — 8x — 20\). Вычитаем \(x^2 — 8x\): \(-22 > -20\). Это неверно.

Ответ: \(x \in \emptyset\)

В первом неравенстве \(4(x-1) — 3(x+1) < x\) сначала раскрываем скобки: \(4x — 4 — 3x — 3 < x\). Далее приводим подобные слагаемые: \(4x — 3x = x\) и \(-4 — 3 = -7\), получаем \(x — 7 < x\). Теперь вычтем \(x\) из обеих частей неравенства: \(x — 7 — x < x — x\), что дает \(-7 < 0\). Это утверждение всегда верно независимо от значения \(x\), то есть первое неравенство выполняется для всех \(x\).

Во втором неравенстве \(0{,}5(x + 2) \leq 2(x + 1{,}5) — 4\) начнем с раскрытия скобок: \(0{,}5x + 1 \leq 2x + 3 — 4\). Далее упрощаем правую часть: \(2x + 3 — 4 = 2x — 1\), получаем \(0{,}5x + 1 \leq 2x — 1\). Переносим все члены с \(x\) в одну сторону, а свободные – в другую: \(0{,}5x + 1 — 2x + 1 \leq 0\), то есть \(-1{,}5x + 2 \leq 0\). Выразим \(x\): \(-1{,}5x \leq -2\). Делим обе части на \(-1{,}5\), при этом знак неравенства меняется на противоположный: \(x \geq \frac{4}{3}\).

Так как первое неравенство выполняется при любом \(x\), а второе – только при \(x \geq \frac{4}{3}\), то решением системы будет множество \(x \in \left( \frac{4}{3}; +\infty \right)\). Это означает, что любые значения \(x\), большие \(\frac{4}{3}\), будут удовлетворять обоим неравенствам одновременно.

Во втором задании рассмотрим неравенство \(\frac{2 — 4x — 1}{6} < 3x\). Сначала упростим числитель: \(2 — 4x — 1 = 1 — 4x\), значит, неравенство принимает вид \(\frac{1 — 4x}{6} < 3x\). Умножим обе части на 6 (так как 6 положительное число, знак неравенства не изменится): \(1 — 4x < 18x\). Перенесем все слагаемые с \(x\) в одну сторону: \(1 < 18x + 4x\), получаем \(1 < 22x\). Разделим обе части на 22: \(x > \frac{1}{22}\).

Второе неравенство: \(x(x-8) — 22 > (x+2)(x-10)\). Раскроем скобки: \(x \cdot x — x \cdot 8 — 22 > x \cdot x — x \cdot 10 + 2 \cdot x — 2 \cdot 10\), то есть \(x^{2} — 8x — 22 > x^{2} — 10x + 2x — 20\). Преобразуем правую часть: \(-10x + 2x = -8x\), \(-20\) остается, получаем \(x^{2} — 8x — 22 > x^{2} — 8x — 20\). Вычтем из обеих частей \(x^{2} — 8x\): \(-22 > -20\). Это неравенство ложно для любых \(x\), так как \(-22\) всегда меньше \(-20\).

Поскольку второе неравенство не выполняется ни при каких значениях \(x\), то система не имеет решений. Итоговый ответ: \(x \in \emptyset\).