ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 49 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Сколько целых решений имеет неравенство:

1) \(-4 \leq 2x — 5 \leq 6\);

2) \(-2 \leq 4 — 11x \leq 7\)?

1) \(-4 \leq 2x-5 \leq 6\)
\(1 \leq 2x \leq 11\)
\(0{,}5 \leq x \leq 5{,}5\)
\(x = 1; 2; 3; 4; 5\)
5

2) \(-2 \leq 4-11x \leq 7\)
\(-6 \leq -11x \leq 3\)
\(6 \geq 11x \geq -3\)
\(-\frac{3}{11} \leq x \leq \frac{6}{11}\)
\(x = 0\)
1

Рассмотрим первое неравенство: \(-4 \leq 2x-5 \leq 6\). Это двойное неравенство, которое ограничивает выражение \(2x-5\) с двух сторон — слева и справа. Чтобы решить его, необходимо изолировать переменную \(x\). Начнем с того, что к каждой части неравенства прибавим число 5, чтобы избавиться от свободного члена \(-5\) в средней части. Получим: \(-4+5 \leq 2x-5+5 \leq 6+5\), то есть \(1 \leq 2x \leq 11\). Теперь переменная \(x\) содержится только в одном выражении, а все остальное — числа.

Следующим шагом делим все части неравенства на 2, чтобы получить выражение для \(x\). Деление на положительное число не меняет знаки неравенств: \(\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{11}{2}\). Теперь мы видим, что \(x\) ограничен снизу и сверху дробными числами: от \(\frac{1}{2}\) до \(\frac{11}{2}\). Осталось определить целые значения \(x\), которые лежат в этом промежутке. Поскольку \(\frac{1}{2}\) меньше 1, а \(\frac{11}{2}\) — это 5.5, то целыми числами в данном диапазоне будут \(x = 1, 2, 3, 4, 5\).

Проверим каждое из этих значений, чтобы убедиться, что они действительно удовлетворяют исходному неравенству. Подставим \(x=1\): \(2 \cdot 1 — 5 = -3\), а \(-4 \leq -3 \leq 6\) — верно. Подставим \(x=5\): \(2 \cdot 5 — 5 = 5\), а \(-4 \leq 5 \leq 6\) — верно. Аналогично для остальных значений. Всего таких целых чисел 5, поэтому ответ для первого неравенства — 5.

Перейдем ко второму неравенству: \(-2 \leq 4-11x \leq 7\). Здесь переменная \(x\) входит в выражение с коэффициентом \(-11\). Для начала вычтем 4 из всех частей, чтобы изолировать переменную: \(-2-4 \leq 4-11x-4 \leq 7-4\), получаем \(-6 \leq -11x \leq 3\). Теперь переменная \(x\) находится в выражении с отрицательным коэффициентом, поэтому для дальнейшего упрощения умножим все части неравенства на \(-1\), при этом знаки неравенств поменяются на противоположные: \(6 \geq 11x \geq -3\). Перепишем это в привычном виде: \(-3 \leq 11x \leq 6\).

Теперь разделим все части на 11, чтобы получить неравенство для \(x\): \(-\frac{3}{11} \leq x \leq \frac{6}{11}\). Это промежуток между двумя дробными числами, оба из которых по модулю меньше 1. Следовательно, единственное целое число, которое попадает в этот промежуток, — это \(x=0\). Проверим подстановкой: \(4-11 \cdot 0 = 4\), а \(-2 \leq 4 \leq 7\) — верно.

Таким образом, для второго неравенства единственным целым решением является \(x=0\), и ответ — 1.