ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 5 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что:

1) \(x^2(x-y)\geq y^2(x-y)\), если \(x\geq 0\) и \(y\geq 0\);

2) \(x^3-4x^2+8x-32\geq 0\), если \(x\geq 4\).

\(x^{2}(x-y) \geq y^{2}(x-y),\) если \(x \geq 0\) и \(y \geq 0\);

\(x^{2}(x-y) — y^{2}(x-y) = (x^{2}-y^{2})(x-y) =\)
\(= (x-y)(x+y)(x-y) = (x+y)(x-y)^{2} \geq 0\)

\(x+y \geq 0\) и \((x-y)^{2} \geq 0\)

Что и требовалось доказать.

\(x^{3} — 4x^{2} + 8x — 32 \geq 0,\) если \(x \geq 4\);

\(x^{3} — 4x^{2} + 8x — 32 = x^{2}(x-4) + 8(x-4) = (x^{2}+8)(x-4) \geq 0\)

\(x^{2}+8 \geq 0\) и \(x-4 \geq 0\)

Что и требовалось доказать.

1. Пусть \(x \geq 0\) и \(y \geq 0\). Докажем, что \(x^{2}(x-y) \geq y^{2}(x-y)\).

Вычтем правую часть из левой: \(x^{2}(x-y) — y^{2}(x-y)\).

Вынесем общий множитель \((x-y)\): \((x^{2} — y^{2})(x-y)\).

Разложим разность квадратов: \(x^{2} — y^{2} = (x-y)(x+y)\).

Получаем: \((x-y)(x+y)(x-y) = (x-y)^{2}(x+y)\).

Так как \(x \geq 0\) и \(y \geq 0\), то \(x+y \geq 0\), а \((x-y)^{2} \geq 0\).

Произведение двух неотрицательных чисел также неотрицательно: \((x-y)^{2}(x+y) \geq 0\).

Следовательно, \(x^{2}(x-y) \geq y^{2}(x-y)\). Что и требовалось доказать.

2. Пусть \(x \geq 4\). Докажем, что \(x^{3} — 4x^{2} + 8x — 32 \geq 0\).

Группируем слагаемые: \(x^{3} — 4x^{2} + 8x — 32 = x^{2}(x-4) + 8(x-4)\).

Вынесем общий множитель \((x-4)\): \(x^{2}(x-4) + 8(x-4) = (x^{2} + 8)(x-4)\).

Так как \(x \geq 4\), то \(x-4 \geq 0\), а \(x^{2} + 8 \geq 8\).

Произведение двух неотрицательных чисел также неотрицательно: \((x^{2} + 8)(x-4) \geq 0\).

Следовательно, \(x^{3} — 4x^{2} + 8x — 32 \geq 0\). Что и требовалось доказать.