ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 51 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите систему неравенств:

1) \(x < 9, x > 6, x < 7,4, 7x-2 > 13\);

2) \(-5-2x < 8, 6x -5 > 3, 0,3 — 5x \leq 2,8\);

3) \(4,5x + 1 \geq 10, 2,2x-1 < 2x-1,3\).

1.
Рассмотрим систему:
\(x < 9\)
\(x > 6\)
\(x < 7{,}4\)
\(7x — 2 > 13\)

Решим последнее неравенство:
\(7x — 2 > 13\)
\(7x > 15\)
\(x > \frac{15}{7}\)
\(\frac{15}{7} = 2 \frac{1}{7}\)

Объединим все условия:
\(x > 6\)
\(x < 7{,}4\)
Ответ:
\(6 < x < 7{,}4\)

2.
Рассмотрим систему:
\(-5 — 2x < 8\)
\(6x — 5 > 3\)
\(0{,}3 — 5x \leq 2{,}8\)

Решим первое неравенство:
\(-5 — 2x < 8\)
\(-2x < 13\)
\(x > -6{,}5\)

Решим второе неравенство:
\(6x — 5 > 3\)
\(6x > 8\)
\(x > \frac{8}{6}\)
\(\frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)

Решим третье неравенство:
\(0{,}3 — 5x \leq 2{,}8\)
\(-5x \leq 2{,}5\)
\(x \geq -0{,}5\)

Объединим все условия:
\(x > -6{,}5\)
\(x > \frac{4}{3}\)
\(x \geq -0{,}5\)
Наиболее строгое ограничение:
\(x > \frac{15}{7}\)
Ответ:
\(x > 2 \frac{1}{7}\)

3.
Рассмотрим систему:
\(4{,}5x + 1 \geq 10\)
\(2{,}2x — 1 < 2x — 1{,}3\)

Решим первое неравенство:
\(4{,}5x + 1 \geq 10\)
\(4{,}5x \geq 9\)
\(x \geq 2\)

Решим второе неравенство:
\(2{,}2x — 1 < 2x — 1{,}3\)
\(2{,}2x — 2x < -1{,}3 + 1\)
\(0{,}2x < -0{,}3\)
\(x < -1{,}5\)

Объединим оба условия:
\(x \geq 2\)
\(x < -1{,}5\)
Таких \(x\) не существует.
Ответ:
\(x \in \emptyset\)

Рассмотрим первую систему неравенств, включающую четыре условия: \(x < 9\), \(x > 6\), \(x < 7{,}4\), а также \(7x — 2 > 13\). Для начала решим последнее неравенство: \(7x — 2 > 13\). Прибавим 2 к обеим частям, получим \(7x > 15\). Далее разделим обе части на 7, чтобы выразить \(x\): \(x > \frac{15}{7}\). Если перевести дробь \(\frac{15}{7}\) в смешанное число, получим \(2 \frac{1}{7}\), однако среди всех ограничений самое строгое нижнее — это \(x > 6\), поскольку \(6 > 2 \frac{1}{7}\). Теперь объединим все ограничения: \(x > 6\), \(x < 7{,}4\), \(x < 9\). Из этих трёх условий наименьшее верхнее значение — \(x < 7{,}4\), а наибольшее нижнее — \(x > 6\). Таким образом, множество решений для данной системы — все значения \(x\), которые строго больше 6 и строго меньше 7,4, то есть \(6 < x < 7{,}4\). Это промежуток, внутри которого удовлетворяются все условия системы.

Перейдём ко второй системе неравенств: \(-5 — 2x < 8\), \(6x — 5 > 3\), \(0{,}3 — 5x \leq 2{,}8\). Начнём с первого неравенства: \(-5 — 2x < 8\). Прибавим 5 к обеим частям: \(-2x < 13\). Разделим обе части на -2, не забывая поменять знак неравенства: \(x > -6{,}5\). Второе неравенство: \(6x — 5 > 3\). Прибавим 5 к обеим частям: \(6x > 8\). Разделим на 6: \(x > \frac{8}{6}\), что равно \(\frac{4}{3}\) или примерно 1,333. Третье неравенство: \(0{,}3 — 5x \leq 2{,}8\). Вычтем 0,3 из обеих частей: \(-5x \leq 2{,}5\). Разделим на -5, меняя знак: \(x \geq -0{,}5\). Теперь среди всех ограничений наименьшее допустимое значение \(x\) — это \(x > \frac{4}{3}\), так как оно строже, чем \(x > -6{,}5\) и \(x \geq -0{,}5\). Следовательно, все значения \(x\), которые больше \(\frac{4}{3}\), будут удовлетворять всем трём неравенствам. Итоговое множество решений: \(x > \frac{4}{3}\).

Рассмотрим третью систему, включающую два неравенства: \(4{,}5x + 1 \geq 10\) и \(2{,}2x — 1 < 2x — 1{,}3\). Решим первое неравенство: \(4{,}5x + 1 \geq 10\). Вычтем 1 из обеих частей: \(4{,}5x \geq 9\). Разделим на 4,5: \(x \geq 2\). Второе неравенство: \(2{,}2x — 1 < 2x — 1{,}3\). Перенесём все переменные в одну часть: \(2{,}2x — 2x < -1{,}3 + 1\), получим \(0{,}2x < -0{,}3\). Разделим на 0,2: \(x < -1{,}5\). Теперь объединим оба условия. Первое требует, чтобы \(x\) было не меньше 2, второе — чтобы \(x\) было меньше -1,5. Очевидно, таких \(x\) не существует, поскольку нет числа, одновременно удовлетворяющего обоим условиям. Поэтому множество решений данной системы — пустое множество, то есть \(x \in \emptyset\).