ГДЗ по Алгебре 9 Класс Дидактические материалы Вариант 2 Номер 53 Мерзляк, Полонский, Рабинович, Якир — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \((x+7)(x-1) \geq 0\);

2) \((x+2)(x+1) < 0\);

3) \(x+4 > 0\);

4) \(3x^2 — 9 > 0\);

5) \(7x-1 \geq 0, x-10 < x+9\);

6) \(\frac{4x-8}{x+5} < 0\).

Находим нули: \(x+7=0\), \(x=-7\); \(x-1=0\), \(x=1\). Знаки: при \(x<-7\) оба отрицательны, при \(-7<x<1\) разные, при \(x>1\) оба положительны. Включаем точки.
\(x \in (-\infty; -7] \cup [1; +\infty)\)

Нули: \(x+2=0\), \(x=-2\); \(x+1=0\), \(x=-1\). Знаки: при \(x<-2\) оба отрицательны, при \(-2<x<-1\) разные, при \(x>-1\) оба положительны. Точки не включаем.
\(x \in (-2; -1)\)

Переносим: \(x+4>0\), значит \(x>-4\).
\(x \in (-4; +\infty)\)

Переносим: \(3x^{2}-9>0\), значит \(x^{2}>3\). Корни: \(x>\sqrt{3}\) или \(x<-\sqrt{3}\).
\(x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)\)

Первое: \(7x-1 \geq 0\), значит \(x \geq \frac{1}{7}\). Второе всегда верно.
\(x \geq \frac{1}{7}\)

Числитель: \(4x-8=0\), \(x=2\). Знаменатель: \(x+5=0\), \(x=-5\). Дробь отрицательна при разных знаках, точки: \(-5\) не включаем, \(2\) включаем.
\(x \in (-5; 2]\)

1. Решим неравенство \((x+7)(x-1) \geq 0\). Найдём нули множителей: \(x+7=0\), значит \(x=-7\); \(x-1=0\), значит \(x=1\). Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на промежутках: при \(x<-7\) оба множителя отрицательны, произведение положительно; при \(-7 < x < 1\) один множитель положителен, другой отрицателен, произведение отрицательно; при \(x>1\) оба множителя положительны, произведение положительно. Включаем точки, так как неравенство нестрогое.

\(x \in (-\infty; -7] \cup [1; +\infty)\)

2. Решим неравенство \((x+2)(x+1) < 0\). Найдём нули: \(x+2=0\), значит \(x=-2\); \(x+1=0\), значит \(x=-1\). Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки: при \(x<-2\) оба множителя отрицательны, произведение положительно; при \(-2 < x < -1\) один множитель положителен, другой отрицателен, произведение отрицательно; при \(x>-1\) оба положительны, произведение положительно. Точки не включаем, так как неравенство строгое.

\(x \in (-2; -1)\)

3. Решим неравенство \(x+4 > 0\). Переносим 4: \(x > -4\).

\(x \in (-4; +\infty)\)

4. Решим неравенство \(3x^{2} — 9 > 0\). Переносим 9: \(3x^{2} > 9\). Делим обе части на 3: \(x^{2} > 3\). Корни: \(x > \sqrt{3}\) или \(x < -\sqrt{3}\).

\(x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty)\)

5. Решим систему: \(7x-1 \geq 0\) и \(x-10 < x+9\). Первое неравенство: \(7x \geq 1\), делим на 7: \(x \geq \frac{1}{7}\). Второе неравенство: \(x-10 < x+9\), вычтем \(x\): \(-10 < 9\), это верно всегда.

\(x \geq \frac{1}{7}\)

6. Решим неравенство \(\frac{4x-8}{x+5} < 0\). Числитель: \(4x-8=0\), значит \(x=2\). Знаменатель: \(x+5=0\), значит \(x=-5\). Отметим точки на числовой прямой. Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков. Проверяем промежутки: при \(x<-5\) знаменатель отрицателен, числитель отрицателен, дробь положительна; при \(-5 < x < 2\) числитель отрицателен, знаменатель положителен, дробь отрицательна; при \(x>2\) оба положительны, дробь положительна. Точку \(x=-5\) не включаем, так как знаменатель обращается в ноль, точку \(x=2\) включаем, так как неравенство нестрогое.

\(x \in (-5; 2]\)